鄰域

在集合論中，鄰域（英語：Neighbourhood）指以點 a 為中心的任何開區間，記作：U(a)。

在拓撲學和相關的數學領域中，鄰域是拓撲空間中的基本概念。直覺上說，一個點的鄰域是包含這個點的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微「抖動」一下這個點而不離開這個集合。

定義

在集合論中，有以下幾種鄰域：

\delta

鄰域：

U(a,\delta )=(a-\delta ,a+\delta )=\left\{x\mid |x-a|<\delta \right\}

去心鄰域：

U_{0}(a,\delta )=\left\{x\mid 0<|x-a|<\delta \right\}

左鄰域：

(a-\delta ,a)

右鄰域：

(a,a+\delta )

在拓撲學中，拓撲空間X，A，B⊆X，稱B是A的鄰域，當且僅當以下條件之一成立：

存在開集C，使得A⊆C⊆B。
A⊆B^o。（B^o是B的內部）

開鄰域，閉鄰域: 若B是開集，則B稱為A的開鄰域；若B是閉集，則B稱為A的閉鄰域。
鄰域系統: 設x∈X，則{x}所有鄰域的集合U(x)，稱為x（或{x}）的鄰域系。

注意：某些作者要求鄰域是開集，所以在閱讀文獻時注意約定是很重要的。

如果S是X的子集，S的鄰域是集合V，它包含了包含S的開集U。可得出集合V是S的鄰域，當且僅當它是在S中的所有點的鄰域。

鄰域的度量空間定義

平面上的集合S和S的均勻鄰域V。

在度量空間M = (X,d)中，集合V是點p的鄰域，如果存在以p為中心和半徑為r的開球，

B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}

它被包含在V中。

均勻鄰域

V叫做集合S的均勻鄰域（uniform neighborhood），如果存在正數r使得對於S的所有元素p，

B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}

被包含在V中。

對於r>0集合S的r-鄰域 $S_{r}$ 是X中與S的距離小於r的所有點的集合(或等價的說 $S_{r}$ 是以S中一個點為中心半徑為r的所有開球的併集)。

可直接得出r-鄰域是均勻鄰域，並且一個集合是均勻鄰域當且僅當它包含對某個r值的r-鄰域。
參見一致空間。

非均勻鄰域的例子

給定實數集 $\mathbb {R}$ 帶有平常的歐幾里得度量和如下定義的子集V

V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right)

，

則V是自然數集合N的鄰域，但它不是這個集合的均勻鄰域，因為 $r={\frac {1}{n}}$ 並不是一個固定值。

去心鄰域

點 $p$ 的去心鄰域（英語：deleted neighborhood 或 punctured neighborhood）是點 $p$ 的鄰域中減去 $\{p\}$ 後得到的差集。例如，區間 $(-1,1)=\{y:-1<y<1\}$ 是 $p=0$ 在實數軸上的鄰域，因此集合 $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}$ 是 $p=0$ 的一個去心鄰域。需注意的是，給定點的去心鄰域實際上不是該點的鄰域。在討論函數極限時，會用到去心鄰域的概念。

基於鄰域的拓撲

上述定義適用於開集的概念早已定義的情況。有另一種方式來定義拓撲，也就是先定義鄰域系統，再定義開集：若集中每個點皆有一個鄰域被包含於集中，則為開集。

在X上的鄰域系統是濾子N(x)(在集合X上)到每個X中的x的指派，使得

點x是每個N(x)中的U的元素，
每個N(x)中的U包含某個N(x)中的V使得對於每個V中的y有着U在N(y)中。

可以證明這兩個定義是兼容的，就是說從使用開集定義的鄰域系統獲得的拓撲就是最初的拓撲，反之從鄰域系統出發亦然。

引用

Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.

Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.

Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.