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長方體

在幾何學中，長方體（Rectangular cuboid）是一種由六個矩形組成、且每條稜對應的二面角都是直角的凸多面體，是四角柱的一種，也是一種現代建築常見的形狀[1]。長方體和矩形柱（底面為矩形的稜柱），其對應的多面體圖與立方體對應的多面體圖相同，但習慣上仍然會以長方體稱之[2]。在部分初等教育的教材中會將立方體視為長方體的一個特例[3]。

長方體
長方體
長方體模型
類別柱體
六面體
對偶多面體雙矩形錐
數學表示法
考克斯特符號
（英語：Coxeter-Dynkin diagram）		node_1 2 node_1 2 node_1 
施萊夫利符號{ }×{ }×{ }或{ }3
性質
面6
邊12
頂點8
歐拉特徵數F=6, E=12, V=8 （χ=2）
組成與佈局
面的種類正方形、長方形、方形或矩形
頂點圖V4.4.4
對稱性
對稱群D2h, [2,2], (*222), order 8
特性
凸、 等角
圖像

（展開圖）

英文單詞cuboid一般翻作長方體[4]，然而其也可以指四邊形六面體，與長方體並不完全相同，而長方體是一種cuboid。

性質

長方體是一種六面體，由6個矩形組成，共有6個面、12條邊和8個頂點。每條相鄰的邊皆互相垂直、每個相鄰的面也互相垂直[5][6]。長方體被平面所截後，截面的形狀有可能是三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形、鳶形、五邊形和六邊形。[7]

組成

長方體與立方體拓樸結構相同，皆具有6個面、12條邊和8個頂點，其中每條邊都是兩個矩形的公共邊，對應的稜之二面角為直角。8個頂點中，每個頂點都是3個矩形的公共頂點，對應的角為三面角。在長方體的6個矩形面中，一般可以分為3組兩兩全等的矩形[5][8]。

體積與表面積

長方體各邊的邊長通常可以分為長、寬及高，若已知長方體的長、寬及高則其體積與表面積為：

 

展開圖

邊長全部等長的長方體，即立方體，其共有11種展開圖[11]，而有2種邊長的長方體（或稱正四角柱）其展開圖有27種[12]，而若長方體是有3種邊長的長方體，則展開圖的數量有54種[13][14]。

種類

長方體大致可以分為三種，一種是有三組等長邊的長方體、另一種是有三組等長邊的長方體，通常可以稱為正四角柱，最後一種是長方體的特例，即所有邊等長的長方體，稱為立方體或正方體[3]。

名稱 正方體
長方體
正四角柱
考克斯特記號                  
施萊夫利符號 {4,3} {4}×{ }
rr{4,2} 		{ }3
tr{2,2}
威佐夫符號 3 | 4 2 4 2 | 2 2 2 2 |
對稱性 Oh
[4,3]
(*432) 		D4h
[4,2]
(*422) 		D2h
[2,2]
(*222)
對稱性階數 24 16 8
圖像      
對應相同對稱性
的立方體表面
塗色結果 		     

用途

長方體常見於日常生活中，如包裝盒[15]、搬運用紙箱[16][17][18]或貨櫃[19]、一些家具的形狀[20]（如桌子、櫃子、床等）、現代建築物的形狀[1]等。而在產品包裝方面，由於長方體是一種可以獨立填滿空間的形狀[21]，因此許多產品（如飲料包裝）會選擇使用長方體的方式進行包裝。[22]

  •  
    長方體的飲料包
  •  
    外型近似長方體的建築物
  •  
    長方體的貨櫃
  •  
    外型近似長方體的床

相關多面體

在字典中，經常會將長方體的英文翻譯成Cuboid[4]，Cuboid確實有時會指長方體[23]，但是兩者還是有區別的，Cuboid也泛指所有由6個四邊形以類似立方體的互相連接方式組成的立體[24]，即四邊形六面體（quadrilateral hexahedron），此時面不再限於矩形，其對應的多面體圖與立方體和長方體對應的多面體圖相同。但此定義在中文語境中就不存在——中文語境的長方體僅指所有角都是直角的六面體。而Cuboid所泛指的由6個四邊形以類似立方體的互相連接方式組成的立體則與長方體有着相同的拓樸結構，這些立體包括了立方體、長方體、三方偏方面體、四角錐台、平行六面體和菱形六面體等形狀。

四邊形六面體（cuboid） 6個面、12條邊、8個頂點
             
立方體 長方體
（三對矩形） 		三方偏方面體
（全等菱形） 		三方偏方面體
（全等四邊形） 		四角錐台
（平截四角錐） 		平行六面體
（三對
平行四邊形） 		菱形六面體
（三對菱形）
Oh, [4,3], (*432)
48階 		D2h, [2,2], (*222)
8階 		D3d, [2+,6], (2*3)
12階 		D3, [2,3]+, (223)
6階 		C4v, [4], (*44)
8階 		Ci, [2+,2+], (×)
2階

參見

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 彭琛. 谈现代工业建筑的立面设计. 四川建材. 2013, (1): 84––86. 
  2. ^ Robertson, Stewart Alexander. Polytopes and Symmetry. Cambridge University Press. 1984: 75. ISBN 9780521277396. 
  3. ^ 3.0 3.1 長方體與正方體的分類及命名 (PDF). wd.naer.edu.tw. [2019-09-28]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-09-28）. 
  4. ^ 4.0 4.1 長方體 cuboid. 樂詞網, 國家教育研究院. [2022-12-28]. （原始內容存檔於2022-12-28）. 
  5. ^ 5.0 5.1 生活中的立體圖形. 教育部中學學習資源. [2019-09-28]. （原始內容存檔於2020-02-03）. 
  6. ^ Ch 2.1 生活中的垂直與形體 (PDF). math.ymhs.tyc.edu.tw. [2022-12-28]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-12-28）. 
  7. ^ 黃慧儀, 馮振業, 長方體的截面 (PDF), EduMath 30, 2010, 30 [2019-09-28], （原始內容存檔 (PDF)於2019-09-28） 
  8. ^ 立體圖形 (PDF). www.gjjh.tp.edu.tw. [2022-12-28]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-12-28）. 
  9. ^ 9.0 9.1 Weisstein, Eric W. (編). Cuboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  10. ^ 『体積』の教科書制作 (PDF), 木曜３限数学心理学（２０１３年度） (鳥取大学), [2019-09-28], （原始內容存檔 (PDF)於2019-09-28） 
  11. ^ Weisstein, Eric W. (編). Cube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  12. ^ 直方体の展開図. 2007-03-08 [2019年9月28日]. （原始內容存檔於2019年9月28日）. 
  13. ^ 齋藤徳顕, 松山優子, 渡辺総一郎. 空間図形とその指導 (PDF). 三重大學教育學部. [2019-09-28]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-09-28）. 
  14. ^ 立方体・直方体の展開図の形は何種類？. feynmanino.watson.jp. [2019-09-28]. （原始內容存檔於2019-09-28）. 
  15. ^ 正方體與長方體 (PDF). 國家教育研究院. [2019-09-28]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-09-28）. 
  16. ^ Soroka, W. Illustrated Glossary of Packaging Terms. Institute of Packaging Professionals. 2008: 33. ISBN 1-930268-27-0. 
  17. ^ Koning, J. Corrugated Crossroads. TAPPI Press. 1995: 35. ISBN 0-89852-299-4. 
  18. ^ 李廣才, 孫誠, 黃利強. 硬质直方体集装箱装载系统的开发与优化. 包裝工程暋 PACKAGING ENGINEERING. 2011, 32 (3) [2019-09-28]. （原始內容存檔於2020-03-16）. 
  19. ^ 聞順發. 國際貿易操作實務. 五南. 2005: 269,. ISBN 9789571140667. 
  20. ^ 王麗卿, 聶志高, 陳國祥. 建築形式在家具設計上的關連性運用. 設計學報 (Journal of Design). 2009, 10 (2). 
  21. ^ Subramanian, Sai Ganesh and Eng, Mathew and Krishnamurthy, Vinayak and Akleman, Ergun, Delaunay Lofts: A New Class of Space-filling Shapes, ACM SIGGRAPH 2019 Posters, SIGGRAPH '19 (Los Angeles, California: ACM), 2019: 81:1––81:2, ISBN 978-1-4503-6314-3, doi:10.1145/3306214.3338576 
  22. ^ 李祐宗. 飲料包的數學. 湖縣國教輔導團, 科學研習月刊50卷9期. [2019-09-28]. （原始內容存檔於2023-01-23）. 
  23. ^ Weisstein, Eric W. (編). Cuboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  24. ^ Dupuis, Nathan Fellowes. Elements of Synthetic Solid Geometry. Macmillan. 1893: 53 [2018-12-01]. 
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