集膚效應

物理现象

集膚效應(又稱趨膚效應或直譯作表皮效應,英語:Skin effect)是指導體中有交流電或者交變電磁場時,導體內部的電流分佈不均勻的一種現象。隨着與導體表面的距離逐漸增加,導體內的電流密度指數衰減,即導體內的電流會集中在導體的表面。從與電流方向垂直的橫切面來看,導體的中心部分幾乎沒有電流流過,只在導體邊緣的部分會有電流。簡單而言就是電流集中在導體的「皮膚」部分,所以稱為集膚效應。產生這種效應的原因主要是變化的電磁場在導體內部產生渦旋電場,與原來的電流相抵消。

理想中(圖左)電子在導體中以平均分佈的方式傳導流通,集膚效應(圖右)則是電子集中在導體的近外膚位置上流通,使橫切面的核心部位呈現空泛狀態,進而使電流輸送量減少。

簡介

集膚效應最早在英國應用數學家賀拉斯·蘭姆(Horace Lamb)1883年發表的一份論文中提及,只限於球殼狀的導體。1885年,英國物理學家奧利弗·赫維賽德(Oliver Heaviside)將其推廣到任何形狀的導體。集膚效應使得導體的電阻隨着交流電的頻率增加而增加,並導致導線傳輸電流時效率減低,耗費金屬資源。在無線電頻率的設計、微波線路和電力傳輸系統方面都要考慮到集膚效應的影響。

理論

當單色平面電磁波從真空垂直射入表面為平面的無限大導體中時,隨着與導體表面的距離逐漸增加,導體內的電流密度J指數衰減

 

其中, 是導體表面的電流密度, 表示電流與導體表面的距離, 是一個和導體的電阻率以及交流電的頻率有關的係數,稱為集膚深度(skin depth)。

 

其中:

ρ =導體的電阻率
ω = 交流電的角頻率 = 2π ×頻率
μ = 導體的磁導率 =   ,其中 真空磁導率 是導體的相對磁導率

對於很長的圓柱形導體,比如導線來說,如果它的直徑  大很多的話,它對於交流電的電阻將會相當於一個中空的厚度為 的圓柱導體對直流電的電阻。

 

其中:

L=導線的長度
D=導線直徑

具體來說,假設 是從離導線中心r處到導線表面的截面上通過的電流, 為截面上的總電流,那麼有:

 

其中BerBei為0階的開爾文-貝索函數的相應原函數(具體見下)。

圓柱形導體的模型

考慮一個半徑為a,長度無限大的圓柱形導體。假設電磁場是時變場,則在圓柱中有頻率為ω正弦交流電流。由麥克斯韋方程組

麥克斯韋-法拉第方程式:

 

麥克斯韋-安培方程式:

 

其中:

在導體中,歐姆定律的微分形式為:

 

σ是導體的電導率

我們假設導體是均勻的,於是導體各處的μσ都相同。於是有:

 
 

圓柱坐標系(r, θ, z)(z為圓柱導體的軸心)中,設電磁波隨z軸前進,由對稱性,電流密度是一個只和r有關的函數:

 

取麥克斯韋-法拉第方程式兩邊的旋度,就有:

 

也就是:

 

由之前對電流密度的假設, ,因此有:

 

在圓柱坐標系中,拉普拉斯算子 寫作:

 

 ,再將方程式兩邊乘上r2就得到電流密度應該滿足的方程式:

 

在進行代換 後,方程式變為一個齊次的貝塞爾方程式

 

由電流密度在r = 0的連續性,方程式的解具有 的形式,其中J0是零階的第一類貝索函數。於是:

 

其中j0是一個常數k為:

 

其中δ是集膚深度, 

 

最後,電流密度為:

 

其中berbei是0階的開爾文-貝索函數

於是通過整個截面的電流總和就是:

 

BerBei為相應的原函數

 

便有如下更簡潔的形式:

 

我們還可以計算從圓柱表面到離軸心距離r處的電流總和:

 

於是有電流的分佈函數

 

一般來說,在給定的頻率下,使得導線對交流電的電阻增加百分之十的直徑大約是:

 

以上的導線對交流電的電阻只對於孤立的導線成立。對於兩根鄰近的導線,交流電阻會受到鄰近效應的影響而顯著增大。

減緩集膚效應的方法

一種減緩集膚效應的方法是採用所謂的利茲線英語Litz wire(源自德語Litzendraht,意為「編織起來的線」)。利茲線採用將多條金屬導線相互纏繞的方法,使得電磁場能夠比較均勻地分佈,這樣各導線上的電流分佈就會較為平均。使用利茲線後,產生顯著集膚效應的頻率可以從數千赫茲提高到數兆赫茲。利茲線一般應用在高頻交流電的傳輸中,可以同時減緩集膚效應和鄰近效應。

高電壓大電流的架空電力線路通常使用鋼芯鋁絞線,這樣能使鋁質部分的工作部分溫度降低,減低電阻率,並且由於集膚效應,電阻率較大的鋼芯上承載極少的電流,因而無關緊要。

還有將實心導線換成空心導線管,中間補上絕緣材料的方法,這樣可以減輕導線的重量。

在傳輸的頻率在甚高頻微波級別時,一般會使用(已知的除超導體外最好的導體)的導線,因為這時集膚深度非常的淺,使用更厚的銀層已是浪費。

其它應用

集膚效應使交流電只通過導體的表面,因此電流只在其表面產生熱效應。鋼鐵工業中利用集膚效應來為進行表面淬火,使鋼材表面的硬度增大。

集膚效應也可以描述為:導體中變電磁場的強度隨着進入導體的深度而呈指數遞減,因此在防曬霜中混入導體微粒(一般是氧化鋅氧化鈦),就能使陽光中的紫外線(高頻電磁波)的強度減低。這便是物理防曬的原理之一。此外,集膚效應也是電磁屏蔽的方法之一,利用集膚效應可以阻止高頻電磁波透入良導體而作成電磁屏蔽裝置[1],這也是電梯裏手機信號不好的原因。

舉例

頻率為10 GHz(微波)時各種材料的集膚深度:

導體 δ(μm
0.80
0.65
0.79
0.64

質導線中,集膚深度和頻率的關係大致如下:

頻率 δ
60 Hz 8.57 mm
10 kHz 0.66 mm
100 kHz 0.21 mm
1 MHz 66 µm
10 MHz 21 µm

參見

外部連結

相關參考

  • William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
  • Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
  • Terman, F.E. Radio Engineers' Handbook, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above
  1. ^ 林漢年. 《電磁相容分析與設計 : 從PI與SI根因探討》. 滄海圖書. 2021: 第B–3頁. ISBN 9789865647735.