布拉格定律

物理学中,布拉格定律给出晶格相干及不相干散射角度。当X射线入射于原子时,跟任何电磁波一样,它们会使电子云移动。电荷运动波动以同样的频率再发射出去(会因其他各种效应而变得有点模糊);这种现象叫瑞利散射(或弹性散射)。散射出来的波可以再相互散射,但这种进级散射在这里是可以忽略的。当中子波与原子核或不成对电子的相干自旋进行相互作用时,会发生一种与上述电磁波相近的过程。这些被重新发射出来的波来相互干涉,可能是相长的,也可能是相消的(重叠的波某程度上会加起来产生更强的波峰,或相互消抵),在探测器或底片上产生衍射图样。而所产生的波干涉图样就是衍射分析的基本部分。这种解析叫布拉格衍射

布拉格衍射(又称X射线衍射的布拉格形式),最早由威廉·劳伦斯·布拉格威廉·亨利·布拉格于1913年提出,他们早前发现了固体在反射X射线后产生的晶体线(与其他物态不同,例如液体),而这项定律正好解释了这样一种效应。他们发现,这些晶体在特定的波长及入射角时,反射出来的辐射会形成集中的波峰(叫布拉格尖峰)。布拉格衍射这个概念同样适用于中子衍射电子衍射 [1] 。中子及X射线的波长都于原子间距离(~150 pm)相若,因此它们很适合在这种长度作“探针”之用。

X射线与一晶体内原子的相互作用。

威廉·劳伦斯·布拉格使用了一个模型来解释这个结果,模型中晶体为一组各自分离的平行平面,相邻平面间的距离皆为一常数d。他的解释是,如果各平面反射出来的X射线成相长干涉的话,那么入射的X射线经晶体反射后会产生布拉格尖峰。当相位差为2π及其倍数时,干涉为相长的;这个条件可经由布拉格定律表示[2]

其中n为整数,λ为入射波的波长d为原子晶格内的平面间距,而θ则为入射波与散射平面间的夹角。注意移动中的粒子,包括电子、质子和中子,都有对应其速度及质量的德布罗意波长

根据 推导,相位差会导致相长(图左)或相消(图右)干涉

布拉格定律由物理学家威廉·劳伦斯·布拉格爵士[3]于1912年推导出来,并于1912年11月11日首度于剑桥哲学会中发表。尽管很简单,布拉格定律确立了粒子在原子大小下的存在,同时亦为晶体研究提供了有效的新工具──X射线及中子衍射。威廉·劳伦斯·布拉格及其父,威廉·亨利·布拉格爵士获授1915年诺贝尔物理学奖,原因为晶体结构测定的研究,他们测定了氯化钠硫化锌钻石的结构。 他们是唯一一队同时获奖的父子队伍,而威廉·劳伦斯·布拉格时年25岁,因此成了最年轻的诺贝尔奖得主。

布拉格条件

 
图为布拉格衍射。两束相同波长及相的辐射,向着固态晶体前进,最后被里面的两个原子所散射出去。下面的束被散射后,比上面的束多行了   的距离。当这个距离等于辐射波长的倍数时,散射后的两束辐射就会产生相长干涉。

当电磁辐射或亚原子粒子波的波长,与进入的晶体样本的原子间距长度相若时,就会产生布拉格衍射,入射物会被系统中的原子以镜面形式散射出去,并会按照布拉格定律所示,进行相长干涉。对于晶质固体,波被晶格平面所散射,各相邻平面间的距离为d。当被各平面散射出去的波进行相长干涉时,它们的相位依然相同,因此每一波的路径长度皆为波长的整数倍。进行相长干涉两波的路径差为 ,其中 为散射角。由此可得布拉格定律,它所描述的是晶格中相邻晶体平面(由米勒指数hkl 标记),产生相长干涉的条件[4]

 

其中n为整数,按各项参数大小而定,而λ则为波长[5]。通过量度散射后入射波的强度,并将之表示成入射角的函数,可得干涉图样。在干涉图样中,当散射波满足布拉格条件,就会产生非常强的强度,它们叫布拉格尖峰。

倒空间

尽管很多人都以为布拉格定律量度的是实空间中的原子距离,但事实并不是这样的。在布拉格实验中,只有在量度的距离与晶格图中的d成反比时,第一陈述才似乎会是正确的。而且,从布拉格定律的 项,可以看出定律量度两排原子间到底能放多少个波长,因此它所量度的是倒距离。倒晶格矢量描述的是某组晶格平面,它是这组平面的法矢量,其长度为 马克斯·冯·劳厄用矢量形式正确地诠释了倒晶格矢量,并得出以他命名的劳厄方程

 

其中 为倒晶格矢量,而  为入射及衍射束的波矢

弹性散射条件 ,及散射角 与上式结合后,基本上与布拉格方程等效。这是因为动量转移守恒的缘故。在这个系统中,其扫掠变量可以是长度、入射方向或出射波矢,其中波矢与系统中的能量及角度弥散有关。衍射角与Q空间的关系可用一简单的式子表示:

 

倒晶格是一晶格的傅里叶空间,在晶格上应用完整的波动力学时,这个概念是不可或缺的。

另一种推导

 

设一单色(任何种类),进入一组对齐的平面晶格点,其平面间距为 ,入射角为 ,如右图所示。波被晶格点A反射后会沿AC'行进,而没有被反射的波则沿AB继续行进,被晶格点B反射后路径为BC。AC'与BC间存在路径差,表达式为

 

只有在路径差等于波长整数倍时,这两股分开的波,在到达某一点时,会是同相位的,才会因此产生相长干涉,故相长干涉的产生条件为

 , (需要为C'下定义)

其中  的定义同上。

从上图可见,

  

由此可得,

 

组合上述各式,得

 

简化后可得:

 

即布拉格定律。

胶体晶体的布拉格可见光散射

胶体晶体英语Colloidal crystal为一种非常有序英语Order and disorder (physics)的粒子阵列,可以在大范围内形成(长度从几微米到几毫米不等),而且可被看作原子及分子晶体的类比[6]。球状粒子的周期性阵列,会形成出相似的空隙阵列,而这种阵列可被用作可见光衍射光栅,尤其是当空隙与入射波长为同一数量级的时候[7][8][9]

因此,科学家们在很多年前就发现了,由于相斥库仑相互作用的关系,水溶液中的带电荷高分子,会表现出大范围的类晶体相互关联,当中粒子间距一般会比粒子直径要大得多。在自然的所有这种例子中,都可到看到一样的漂亮构造色(或晃动的色彩),这都可以归功于可见光波的相长干涉,而此时光波会满足布拉格条件,跟结晶固体的X射线衍射类似。

选择定则与实验晶体学

就跟上文提过的那样,布拉格定律可用于计算某立方晶系的晶格间距,关系式如下:

 

其中 立方晶体的晶格间距,而   则为布拉格平面的密勒指数,将上式与布拉格定律结合可得:

 

我们可以推导出各种不同立方布拉维晶格密勒指数选择定则;以下是其种几种晶格的选择定则。

密勒指数的选择定则
布拉维晶格 化合物例子 可行反射 不可行反射
简单立方 氯化钾 任何hkl
体心立方 h + k + l 为偶数 h + k + l 为奇数
面心立方 氯化钠氢化锂硫化铅 hkl皆为奇数或偶数 hkl当中有奇数也有偶数
金刚石型 硒化锌氯化铜碘化银氟化铜 皆为奇数,或皆为偶数且h+k+l = 4n 同上,或皆为偶数但h+k+l ≠ 4n
三角点阵英语Hexagonal lattice l为偶数或h + 2k ≠ 3n l为奇数且h + 2k = 3n

这些选择定则可用于对应晶体结构下的任何晶体。尽管氯化钠呈现面心立方的结构,但是由于氯离子跟钠离子的大小相近,因此衍射图样实质上跟简单立方结构一致,只是各项晶体参数都小了一半。其他结构的选择定则可在各种相关的参考文献中找到,也可以自行推导出来。

另见

参考资料

  1. ^ John M. Cowley (1975) Diffraction physics (North-Holland, Amsterdam) ISBN 0-444-10791-6.
  2. ^ 例如,见使用布拉格定律计算原子间距离的例子 互联网档案馆存档,存档日期2011-07-10.。
  3. ^ 有一些资料来源,例如《美国学术百科》,把这项发现归功于威廉·劳伦斯·布拉格及其父威廉·亨利·布拉格,然而 诺贝尔奖官方网站页面存档备份,存于互联网档案馆)及关于他的传记 ("Light Is a Messenger: The Life and Science of William Lawrence Bragg", Graeme K. Hunter, 2004 and "Great Solid State Physicists of the 20th Century", Julio Antonio Gonzalo, Carmen Aragó López) 都有明确指出,威廉·劳伦斯·布拉格是独立地推导出这条定律的。
  4. ^ H. P. Myers. Introductory Solid State Physics. Taylor & Francis. 2002. ISBN 0-7484-0660-3. 
  5. ^ Carl. R. Nave. Bragg's Law. HyperPhysics, Georgia State University. [2008-07-19]. (原始内容存档于2020-11-12). 
  6. ^ Pieranski, P. Colloidal Crystals. Contemporary Physics. 1983, 24: 25. Bibcode:1983ConPh..24...25P. doi:10.1080/00107518308227471. 
  7. ^ Hiltner, PA; IM Krieger. Diffraction of Light by Ordered Suspensions. Journal of Physical Chemistry. 1969, 73: 2306. 
  8. ^ Aksay, IA. Microstructural Control through Colloidal Consolidation. Proceedings of the American Ceramic Society. 1984, 9: 94. 
  9. ^ Luck, W. et al., Ber. Busenges Phys. Chem. , Vol. 67, p.84 (1963)

延伸阅读

  • Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).
  • Bragg, W.L. The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1913, 17: 43–57. 

外部链接