广义速度

拉格朗日力学时常涉及广义速度。假设一个物理系统的广义坐标是$(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$，表示广义速度为$({\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ {\dot {q}}_{3},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})\,\!$。广义速度定义为广义坐标对于时间$t\,\!$的导数：

${\dot {q}}_{i}={dq_{i} \over dt}\,\!$。

与动能的关系

在三维空间里，一个质量为$m\,\!$、速度为$\mathbf {v} \,\!$的粒子的动能是

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!$。

速度是位置$\mathbf {r} \,\!$对于时间$t\,\!$的导数。应用偏微分链式法则，可以得到

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!$；

其中，$q_{i}\,\!$是第$i\,\!$个广义坐标，${\dot {q}}_{i}\,\!$是对应的广义速度。

所以，

$T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!$。

将方程展开，动能可以分为三个项目表示：

$T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!$；

其中，

$T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!$，

$T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!$，

$T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!$。

$T_{0}\,\!$、$T_{1}\,\!$、$T_{2}\,\!$分别为广义速度${\dot {q}}_{i}\,\!$的0次、1次、2次齐次函数。如果这系统是定常系统，位置不显性地含时间，${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!$，则只有$T_{2}\,\!$不等于零。所以，$T=T_{2}\,\!$，动能是广义速度的2次齐次函数。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 虚功
• 广义力