极端不连通空间

点集拓扑上，极端不连通空间是一种拓扑空间，它的任何开集的闭包是开集。在某些分离公理假设下这定义了比完全不连通空间及各种“0维条件”更强的不连通性。一个极端不连通的紧致豪斯多夫空间，有时会称为Stonean空间。（注意与Stone空间的分别：Stone空间是完全不连通的紧致豪斯多夫空间。）Andrew Gleason的一条定理指紧致豪斯多夫空间范畴的投射对象正是极端不连通的紧致豪斯多夫空间。在Stone空间和布尔代数之间有对偶性下，Stonean空间恰好对应完备布尔代数。

定义

对于拓扑空间以下条件互为等价，满足此条件的拓扑空间称为极端不连通空间。

• 任何开集的闭包是开集。
• 任何闭集的内部是闭集。
• 任何两个不相交的开集，其闭包不相交。
• 任何两个不相交的开集是函数分离的。
• 任何开集上的$[0,1]$值连续函数可扩张到整个空间上。

例子

以下是极端不连通空间：

• 离散空间
• 离散空间的斯通－切赫紧化
• 交换冯·诺伊曼代数的谱

性质

包含关系

任何离散空间是极端不连通空间。极端不连通的豪斯多夫空间是完全不连通空间。但完全不连通的豪斯多夫空间未必是极端不连通的，例如有理数集（予以实数线的子空间拓扑）。极端不连通的豪斯多夫空间的收敛序列只有最终常数列。因此，极端不连通的第一可数豪斯多夫空间只有离散空间。所有极端不连通正则空间是完备正则空间。对于任意极端不连通正规豪斯多夫空间$X$，有

$\dim X=0$

其中$\dim$是拓扑维数。这是比$\operatorname {ind} X=0$或者完全不连通空间强的条件。

关于诸运算的封闭

极端不连通空间的开集和稠密集是极端不连通空间。极端不连通空间的闭集不一定是极端不连通的。极端不连通吉洪诺夫空间的斯通-切赫紧化是极端不连通空间。特别地，离散空间的斯通-切赫紧化是极端不连通空间。极端不连通空间族的积空间不一定是极端不连通的。

范畴论

设$X$是紧致豪斯多夫空间，则以下条件等价。

• $X$是极端不连通空间。
• $X$是紧致豪斯多夫空间和连续函数的范畴$\operatorname {CompHaus}$中的投射对象。
• $X$与一个完备布尔代数的斯通空间表示同胚。

设$X$是局部紧致豪斯多夫空间，则以下条件等价。

• $X$是极端不连通空间。
• $X$是局部紧致豪斯多夫空间和常态映射的范畴中的投射对象。

参考文献

• A. V. Arkhangelskii, Extremally-disconnected space, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Johnstone, Peter T. Stone spaces. CUP. 1982. ISBN 0-521-23893-5.