级数列表

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本表 列出基本或常见的有限级数与无限级数的计算公式。

  • 规定
  • 表示Bernoulli多项式
  • 表示Bernoulli数,其中,
  • 表示Euler数
  • 表示黎曼ζ函数
  • 表示Γ函数
  • 表示多伽玛函数
  • 表示多重对数函数

幂求和

参见等幂求和
  •  

其中,一次方项、平方项及立方项之和的公式如下︰

  •  
  •  
  •  
参见ζ常数.
  •  

其中,前几项为︰

  •  巴塞尔问题
  •  
  •  

幂级数

低次数多重对数函数

有限项求和︰

  •  , (等比数列)
  •  
  •  
  •  

无限项求和,其中 (参见多重对数函数)︰

  •  

以下是递归计算低整数次幂的多重对数函数以得出解析解时所用到的一个性质︰

  •  

前几项分别为︰

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

指数函数

  •  
  •   (参见Poisson分布数学期望
  •   (参见Poisson分布二阶矩
  •  
  •  
  •  

其中, 表示图沙德多项式

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  正矢
  •  [1]半正矢
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

修正的分母阶乘

  •  [2]
  •  [2]
  •  
  •   (参见二项式定理
  • [3]  
  • [3]  卡塔兰数母函数
  • [3]  中心二项式系数母函数
  • [3]  
  •  
  •  
  •  [2]
  •  [2]
  •  
  •  
  •  
  •   (参见多重集
  •  (参见Vandermonde恒等式
正弦余弦的求和详见Fourier级数
  •  
  •  
  •  
  •  [4]
  •  
  •  
  •  
  •  [5]
  •  
  •  
  •  [6]
  •  
  •  


使用部分分式分解方法,能够将任何关于 有理函数的无限项级数都被化简为一个多伽玛函数的有限项级数。[7]这个方法也被应用于有理函数的有限项级数中,使得即便所求级数的项数极多,其计算也能在常数时间内完成。

参阅

注释

  1. ^ Weisstein, Eric W. Haversine. MathWorld. Wolfram Research, Inc. [2015-11-06]. (原始内容存档于2005-03-10). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 generatingfunctionology (PDF). [2017-08-08]. (原始内容存档 (PDF)于2021-04-27). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Theoretical computer science cheat sheet (PDF). [2017-08-08]. (原始内容存档 (PDF)于2018-07-30). 
  4. ^ Bernoulli polynomials: Series representations (subsection 06/02). [2011-06-02]. (原始内容存档于2020-07-10). 
  5. ^ Hofbauer, Josef. A simple proof of 1+1/2^2+1/3^2+...=PI^2/6 and related identities (PDF). [2011-06-02]. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-23). 
  6. ^ Riemann Zeta Function页面存档备份,存于互联网档案馆)" from MathWorld, equation 52
  7. ^ Abramowitz and Stegun. [2017-08-08]. (原始内容存档于2014-05-09).