布莱克-舒尔斯模型

選擇權定價模型

布莱克-舒尔斯模型(英语:Black-Scholes Model),简称BS模型,是一种为金融衍生工具中的期权定价的数学模型,由美国经济学家迈伦·舒尔斯费希尔·布莱克首先提出。此模型适用于没有派发股息的欧式期权。罗伯特·C·墨顿其后修改了数学模型,使其于有派发股息时亦可使用,新模型被称为布莱克-舒尔斯-墨顿模型(英语:Black–Scholes–Merton model)。

“Black-Scholes Model”的各地常用译名
中国大陆布莱克-舒尔斯模型
台湾布莱克-休斯模型

此模型的应用是透过买卖价格过高或是过低的期权,并同时与持有的资产对冲,来消除可能潜在的风险,并因此而套利。此方法也被称为“动态 Delta中性”。此公式问世后带来了期权市场的繁荣,并且也是在投资银行与对冲基金中被广为使用的基础模型。

虽然在很多情况下被使用者进行一定的改动和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格,然而也有会出现差异的时候,如著名的“波动率的微笑英语Volatility smile”。然而它假设价格的变动,会符合正态分配(即俗称的钟形曲线),但在金融市场上经常出现符合统计学厚尾现象的事件,这影响此公式的有效性。

1997年,迈伦·舒尔斯罗伯特·C·墨顿借该模型获得诺贝尔经济学奖费希尔·布莱克不幸在1995年离世,因此未能获奖。

重要假设

BS模型假设金融市场存在最少一种风险资产(如股票)及一种无风险资产(现金债券)。

假设金融资产是:

假设金融市场是:

此外,假设期权是欧式期权,即只可在特定日期行权。

数学模型

符号

V(S,t):欧式期权的理论价格
C(S,t):认购期权的价格
P(S,t):认沽期权的价格
ln():自然对数
K:交割价格
S:即期价格(Spot)
τ:有效期
T:到期日
t:时间,以年为单位,例如0.5代表6个月
 
r:连续复利计无风险利率
 :年度化方差
N():正态分布变量的累积分布函数
 

布莱克-舒尔斯方程

对于有效期内不派发红利的欧式期权,其价格遵从以下偏微分方程

 

把方程重写成左右两边:

 

左方代表期权的时间值及与即期价格的凸性英语Convexity (finance)。右方代表期权长仓的无风险回报及 股标的物短仓。

求解过程会变换成为一个热传导方程式

公式

利用以下约束条件,可解认购期权(Call Option)的理论值。

 

认购期权的理论价格是:

 

其中:

 
 

利用相同的方法,也可解认沽期权的理论价格:

 

认购期权及认沽期权的理论价格都包含  ,把交割价格K以连续复利折算为现值。

 

派发股息的期权定价模型

布莱克-舒尔斯模型假定在期权有效期内标的股票不派发股息。若派发股息需改用布莱克-舒尔斯-墨顿模型,其公式如下:  

其中:

 
 
k:表示标的股票的年股息收益率(假设股息连续支付,而不是离散分期支付)
Ln:自然对数
C:期权初始合理价格;
L:期权交割价格;
S:交易所金融资产现价;
T:期权有效期;
r:连续复利计无风险利率H;
 :年度化方差
N():正态分布变量的累积分布函数

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