截对角三方偏方面体

几何学中, 截对角三方偏方面体截对角偏方面体这一系列的多面体中的第一个。它有六个五边形,两个三角形

截对角三方偏方面体
截对角三方偏方面体
又称杜勒多面体
类别截对角偏方面体
对偶多面体双三角锥反角柱
性质
8
18
顶点12
欧拉特征数F=8, E=18, V=12 (χ=2)
组成与布局
面的种类6个五边形
2个三角形
特性
图像

双三角锥反角柱
对偶多面体

几何学中

多面体可透过将一个立方体,或是三方偏方面体,或是一个菱面体,或一个平行六面体中一对处于对角位置的顶点切除,在立方体或著三方偏方面体的例子中,由于截面是平行的,以及原像的高度对称,因此具有高度的旋转对称

杜勒多面体

 
忧郁 I

这个多面体有时候也称为杜勒立体杜勒多面体(Dürer's solid),因为它出现于阿尔布雷希特·杜勒的 1514年画像《忧郁 I》。这图像亦称杜勒图英语Dürer graph

关于杜勒所描述的立体形状是一些学术辩论的主题。[注 1] 依照Lynch (1982),他假设该立体是一个立方体的截角的误绘,该点子源于Strauss (1972); 然而大部分的来源资料同意其为菱面体的截角。 尽管有着这样的同意,而这个菱面体在几何学中确切的形状是许多矛盾的理论的主题。

  • Richter (1957)声称杜勒多面体的原像菱面体中的菱形面的两条对角线的比是 5:6,而这个数值所产生出来的菱形,其锐角的角度大约为80°[1]
  • Schröder (1980)以及Lynch (1982)在1980年代时认为该菱形对角线长的比应该是 而此数值产生出来的菱形,其锐角的角度会变成大约 82°[2][3]
  • MacGillavry (1981)时,测量了该图形的特征并测量出该菱形的锐角大约为 79°。他以及一位后来的另一位作者,沃尔夫·冯·恩格尔哈特英语Wolf von Engelhardt (参见 Hideko (2009))认为该角度的形成取决于自然形成的方解石结晶[4]
  • Schreiber (1999)认为根据杜勒的著作,所有的顶点应该是坐落在同一个球面上, 并更进一步的声明该菱形的锐角为 72°[5]Hideko (2009)列举了其他几位同样赞同该菱形锐角为72°的学者,从1955年的保罗·格罗津斯基(Paul Grodzinski)开始。他认为,这种理论的动机少于实际绘图的分析,而比较倾向关于五边形以及黄金比例的审美原则[3]
  • Weitzel (2004) 分析了对于同一个立体的1510年的草图, 从中他确认了薛伯的假设,即该立体有一个 外接球 但菱形的锐角角度会是大约79.5°[2]
  • Hideko (2009)认为该形状是为了描述一个著名的几何学问题,倍立方体的解答,而杜勒也在1525年中提到。 他随后总结出(在两个顶点截去前)该立体是一个立方体沿着对角线伸长而成的。 更具体地说,他认为杜勒绘制了一个实际的立方体,长对角线平行于图形平面英语Picture plane,然后在长对角线的方向上以因为某种因素而放大他的绘画:结果会和他绘制一个被延长的图形相同。放大的因素是因为关于倍立方后的体积是原立方体的 21/3 ≈ 1.253,但秀子导出不同的,为了适应图纸的放大因素,1.277,以一个更复杂的方式[3]
  • Futamura, Frantz & Crannell (2014)将所提出的解决方案分类为该问题,透过两个参数:锐角以及切面,称为交比。 他们估算这个交比很接近麦克·盖勒艾瑞的,而且具有一个接近 黄金比例的数值。 基于这一点,他们认为锐角是  而交比是精确的  [6]

参见

注译

  1. ^ 参见 Weitzel (2004) 以及 Ziegler (2014),从中得出以下许多历史事件。

参考资料

  1. ^ Richter, D. H., Perspektive und Proportionen in Albrecht Dürers "Melancholie", Z. Vermessungswesen, 1957, 82: 284–288 and 350–357 . As cited by Weitzel (2004)
  2. ^ 2.0 2.1 Schröder, E., Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung", Basel, 1980 . As cited by Weitzel (2004).
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Lynch, Terence, The geometric body in Dürer's engraving Melencolia I, Journal of the Warburg and Courtauld Institutes (The Warburg Institute), 1982, 45: 226–232, JSTOR 750979, doi:10.2307/750979 
  4. ^ MacGillavry, C., The polyhedron in A. Dürers Melencolia I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B, 1981, 84: 287–294 . As cited by Weitzel (2004)
  5. ^ Schreiber, Peter, A new hypothesis on Dürer's enigmatic polyhedron in his copper engraving "Melencolia I", Historia Mathematica, 1999, 26: 369–377, doi:10.1006/hmat.1999.2245 .
  6. ^ Futamura, F.; Frantz, M.; Crannell, A., The cross ratio as a shape parameter for Dürer's solid, Journal of Mathematics and the Arts, 2014, 8 (3-4): 111–119, arXiv:1405.6481 , doi:10.1080/17513472.2014.974483 .
  1. Strauss, Walter L., The Complete Engravings of Dürer, New York: 168, 1972, ISBN 0-486-22851-7 . As cited by Lynch (1982).
  2. Weber, P., Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus, Strassburg, 1900 . As cited by Weitzel (2004).
  3. Weitzel, Hans, A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I, Historia Mathematica, 2004, 31 (1): 11–14, doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6 .
  4. Hideko, Ishizu, Another solution to the polyhedron in Dürer's Melencolia: A visual demonstration of the Delian problem (PDF), Aesthetics (The Japanese Society for Aesthetics), 2009, 13: 179–194 [2017-02-23], (原始内容存档 (PDF)于2018-02-19) .
  5. Ziegler, Günter M., Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube, Alex Bellos's Adventures in Numberland, The Guardian, December 3, 2014 [2017-02-23], (原始内容存档于2020-11-11) .

外部链接