瑞利分布

瑞利分布（Rayleigh distribution），又译为莱利分布，当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。例如，当随机复数的实部和虚部独立同分布于0均值，同方差的正态分布时，该复数的绝对值服从瑞利分布。该分布是以瑞利命名的。

瑞利分布

概率密度函数
累积分布函数
参数	$\sigma >0\,$
值域	$x\in [0;\infty )$
概率密度函数	${\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}$
累积分布函数	$1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
期望值	$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$
中位数	$\sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,$
众数	$\sigma \,$
方差	${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$
偏度	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$
峰度	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
熵	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
矩生成函数	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
特征函数	$1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)$

瑞利分布的概率密度函数是

$f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}},\quad x\geq 0,$

参见

• 瑞利散射
• 莱斯衰落信道