Sinc函数

sinc函数（英语：sinc function）是一种函数，在不同的领域它有不同的定义。数学家们用符号 $\mathrm {sinc} (x)\,$ 表示这种函数。 sinc函数可以被定义为归一化的或者非归一化的，不过两种函数都是正弦函数和单调的递减函数 1/x的乘积：

1. 在数字信号处理和通信理论中，人们把归一化sinc函数定义为

   对于所有x ≠ 0，$\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$

2. 在数学领域中，人们以前使用的非归一化sinc函数 （for sinus cardinalis）被定义为

   对于所有x ≠ 0， $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$

在同一尺度上的归一化 sinc 函数（蓝色）与非归一化 sinc 函数（红色）

将 sinc 函数作为音频播放（2000 Hz)

在这两种情况下，当x=0时sinc函数的值被定义为以下的极限值，因此 sinc 函数是处处可解析的。

对于任何实数 a ≠ 0，$\operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1$

非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。

属性

Re Sinc complex plot

Im Sinc complex plot

Abs Sinc complex plot

归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用：

• 对于 $k\neq 0\,$ 与 $k\in \mathbb {Z} \,$（整数），$\mathrm {sinc} (0)=1\,$ 和 $\mathrm {sinc} (k)=0\,$；也就是说，它是一个插值函数。
• 函数 $x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\$ 在函数空间 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 形成一个带限函数的正交基，它的最大角频率是 $\omega _{\mathrm {H} }=\pi \,$ ，也就是说最大的循环频率是 $f_{\mathrm {H} }=1/2\,$。

这两个 sinc 函数的其它特性包括：

• 非归一化 sinc 函数 ${\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$；对应于它与余弦函数的交点。也就是说，如果 ${\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$ 的导数是 0 ，即在 $x=a\,$ 有极值，那么 ${\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,$ 。

• 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数$j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,$。归一化 sinc 是 $j_{0}(\pi x)\,$。

• 非归一化 sinc 的过零点是 $\pi \,$ 的非零倍数；归一化 sinc 函数  $\mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,$   的过零点出现在非零整数。

• 归一化 sinc 函数  $\mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,$   的对于普通频率的连续傅里叶变换是  $\mathrm {rect} (f)\,$。

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)$,

其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1，在其它区域值为 0。

• 积分

$\int _{-\infty }^{\infty }{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,dx=1$

是广义积分。因为：

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\right|\ dx=\infty \,$

所以它不是勒贝格积分。

• $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)$

• $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{x!(-x)!}}$

其中 $\Gamma (x)$ 是 Γ函数。

与狄拉克δ分布的关系

尽管不是分布，归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数（参见狄拉克δ函数）使用。

归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系

$\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x).$

由于等式左侧并不收敛，所以这不是普通的 limit，而是说明对于任意的紧支撑平滑函数 $\varphi (x)$ 有

$\lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),$

在上面的表达式中，随着 a 趋近于 0，sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限，然而不管 a 是什么值，这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0，这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象（Gibbs phenomenon）中也有类似的状况。

参见

• 抗混叠
• Sinc滤波器
• 维塔克–山侬插值公式
• 波尔文积分

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Sinc Function. MathWorld.