在機率論 和統計學 中，二項式分布 （英語：binomial distribution ）是一種離散 機率分布 ，描述在進行獨立 隨機試驗 時，每次試驗都有相同機率 「成功」的情況下，獲得成功的總次數。擲硬幣 十次出現五次正面的機率、產品合格率
99
%
{\displaystyle \,99\%\,}
只有「成功」和「失敗」兩種可能結果 ，每次重複時成功機率不變的獨立隨機試驗稱作伯努利試驗 ，例如上述的擲硬幣出現正面或反面、對產品進行抽樣檢查時抽到正品或次品。伯努利試驗作為理論模型，其前提在現實中無法完全得到滿足，比如生產線會磨損，因此每件產品合格的機率並非固定。儘管如此，二項式分布給出的機率通常足以用於提供有用的推斷；即使在已知前提沒有滿足的場合，二項式分布也能用於參考和比較。二項式分布的應用出現在遺傳學 、質量控制 等領域之中。
若隨機變數
X
{\displaystyle \,X\,}
機率質量函數
Pr
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
)
,
{\displaystyle \Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\quad (k=0,1,\ldots ,n),}
其中
n
{\displaystyle \,n\,}
正整數 、
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle \,0\leq p\leq 1\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
母數 為
n
,
p
{\displaystyle \,n,p\,}
X
∼
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle \,X\sim \operatorname {B} (n,p)\,}
X
∼
Bin
(
n
,
p
)
{\displaystyle \,X\sim \operatorname {Bin} (n,p)\,}
1
−
p
{\displaystyle \,1-p\,}
q
{\displaystyle \,q\,}
進行
n
{\displaystyle \,n\,}
獨立 伯努利試驗 的結果可以由
n
{\displaystyle \,n\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
F
{\displaystyle \,F\,}
S
S
F
S
F
{\displaystyle SSFSF}
表示五次試驗中第一、二、四次的結果為成功，其餘為失敗。設每次試驗成功的機率為
p
{\displaystyle \,p\,}
1
−
p
{\displaystyle \,1-p\,}
k
{\displaystyle \,k\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
n
−
k
{\displaystyle \,n-k\,}
F
{\displaystyle \,F\,}
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle \,p^{k}(1-p)^{n-k}\,}
從
n
{\displaystyle \,n\,}
元素 中選出含
k
{\displaystyle \,k\,}
子集 的方法數量等於二項式係數
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}
而每種對
k
{\displaystyle \,k\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
n
−
k
{\displaystyle \,n-k\,}
F
{\displaystyle \,F\,}
n
{\displaystyle \,n\,}
k
{\displaystyle \,k\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
(
n
k
)
{\displaystyle \,{n \choose k}\,}
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
.
{\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.}
二項式分布是最早得到研究的機率分布之一。丹麥統計學家安德斯·哈爾德 認為其歷史可以追溯至布萊茲·帕斯卡 與皮埃爾·德·費馬 於1654年對點數分配問題 的討論：兩名玩家贏得每局遊戲的機會相同，贏得一定局數的勝者可獲得獎金，但比賽僅進行了數局，尚未分出勝負就被迫中斷，則獎金該如何分配？帕斯卡認為，獎金的分配應當基於玩家距離勝利所差的局數：若一名玩家還需
r
{\displaystyle \,r\,}
s
{\displaystyle \,s\,}
r
+
s
−
1
{\displaystyle \,r+s-1\,}
2
r
+
s
−
1
{\displaystyle \,2^{r+s-1}\,}
p
=
1
/
2
{\displaystyle \,p=1/2\,}
對二項式分布機率的推導為雅各布·伯努利 於《猜度術 機率論 的奠基性作品。伯努利還在其中首次給出了弱大數法則 的嚴格證明。對二項式分布的常態 近似則是由亞伯拉罕·棣美弗 發現，這一工作於1733年完成，於1738年出版在其著作《機遇論
母數為
n
,
p
{\displaystyle \,n,p\,}
期望值 為
n
p
{\displaystyle \,np\,}
變異數 為
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \,np(1-p)\,}
機率母函數 為
G
(
z
)
=
(
1
−
p
+
p
z
)
n
,
{\displaystyle G(z)=(1-p+pz)^{n},}
動差母函數 為
M
X
(
t
)
=
(
1
−
p
+
p
e
t
)
n
,
{\displaystyle M_{X}(t)=(1-p+pe^{t})^{n},}
特徵函數 為
φ
X
(
t
)
=
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
.
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-p+pe^{it})^{n}.}
母數
n
=
1
{\displaystyle \,n=1\,}
伯努利分布 。多項分布 超幾何分布 的極限形式。
若
X
1
,
X
2
{\displaystyle \,X_{1},X_{2}\,}
n
1
,
p
{\displaystyle \,n_{1},p\,}
n
2
,
p
{\displaystyle \,n_{2},p\,}
X
1
+
X
2
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}\,}
n
1
+
n
2
{\displaystyle \,n_{1}+n_{2}\,}
X
1
+
X
2
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}\,}
n
1
+
n
2
,
p
{\displaystyle \,n_{1}+n_{2},p\,}
X
1
+
X
2
=
k
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}=k\,}
X
1
{\displaystyle \,X_{1}\,}
條件機率分布 是母數為
k
,
n
1
,
n
1
+
n
2
{\displaystyle \,k,n_{1},n_{1}+n_{2}\,}
計算
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
Pr
(
X
=
k
+
1
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k+1)\,}
Pr
(
X
=
k
+
1
)
Pr
(
X
=
k
)
=
(
n
−
k
)
p
(
k
+
1
)
(
1
−
p
)
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
)
,
{\displaystyle {\frac {\Pr(X=k+1)}{\Pr(X=k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}\quad (k=0,1,\ldots ,n-1),}
因此，當
k
<
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,k<(n+1)p-1\,}
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
k
{\displaystyle \,k\,}
k
>
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,k>(n+1)p-1\,}
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
k
{\displaystyle \,k\,}
眾數 為
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
下取整
⌊
(
n
+
1
)
p
⌋
{\displaystyle \,\lfloor (n+1)p\rfloor \,}
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,(n+1)p-1\,}
p
<
(
n
+
1
)
−
1
{\displaystyle \,p<(n+1)^{-1}\,}
0
{\displaystyle \,0\,}
二項式分布的中位數
m
{\displaystyle \,m\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
取整 之間，即
⌊
n
p
⌋
≤
m
≤
⌈
n
p
⌉
{\displaystyle \,\lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil \,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
m
=
n
p
{\displaystyle \,m=np\,}
m
{\displaystyle \,m\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
|
m
−
n
p
|
<
max
{
p
,
1
−
p
}
.
{\displaystyle |m-np|<\max\{p,1-p\}.}
若
p
>
ln
2
{\displaystyle \,p>\ln 2\,}
p
<
1
−
ln
2
{\displaystyle \,p<1-\ln 2\,}
|
m
−
n
p
|
<
ln
2.
{\displaystyle |m-np|<\ln 2.}
若
n
{\displaystyle \,n\,}
奇數 、
p
=
1
/
2
{\displaystyle \,p=1/2\,}
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle \,(n-1)/2\,}
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle \,(n+1)/2\,}
二項式分布的累積分布函數 和尾機率可以用正則化不完全貝塔函數 表示為
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
⌊
k
⌋
,
⌊
k
⌋
+
1
)
,
{\displaystyle \Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,\lfloor k\rfloor +1),}
Pr
(
X
≥
k
)
=
I
p
(
⌈
k
⌉
,
n
−
⌈
k
⌉
+
1
)
.
{\displaystyle \Pr(X\geq k)=I_{p}(\lceil k\rceil ,n-\lceil k\rceil +1).}
二項式分布的
r
{\displaystyle \,r\,}
原動差 滿足
μ
r
′
=
E
[
X
r
]
=
∑
j
=
0
r
S
(
r
,
j
)
n
!
p
j
(
n
−
j
)
!
,
{\displaystyle \mu '_{r}=E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}{\frac {S(r,j)n!p^{j}}{(n-j)!}},}
其中
S
(
r
,
j
)
{\displaystyle \,S(r,j)\,}
第二類 史特靈數 。具體而言，
μ
1
′
=
n
p
,
{\displaystyle \mu '_{1}=np,}
μ
2
′
=
n
p
+
n
(
n
−
1
)
p
2
,
{\displaystyle \mu '_{2}=np+n(n-1)p^{2},}
μ
3
′
=
n
p
+
3
n
(
n
−
1
)
p
2
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
p
3
,
{\displaystyle \mu '_{3}=np+3n(n-1)p^{2}+n(n-1)(n-2)p^{3},}
μ
4
′
=
n
p
+
7
n
(
n
−
1
)
p
2
+
6
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
p
3
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
p
4
.
{\displaystyle \mu '_{4}=np+7n(n-1)p^{2}+6n(n-1)(n-2)p^{3}+n(n-1)(n-2)(n-3)p^{4}.}
其低階主動差 為
μ
2
=
n
p
(
1
−
p
)
,
{\displaystyle \mu _{2}=np(1-p),}
μ
3
=
n
p
(
1
−
p
)
(
1
−
2
p
)
,
{\displaystyle \mu _{3}=np(1-p)(1-2p),}
μ
4
=
3
[
n
p
(
1
−
p
)
]
2
+
n
p
(
1
−
p
)
[
1
−
6
p
(
1
−
p
)
]
.
{\displaystyle \mu _{4}=3[np(1-p)]^{2}+np(1-p)[1-6p(1-p)].}
n
=
6
{\displaystyle n=6}
p
=
0.5
{\displaystyle p=0.5}
二項式分布 及其常態近似標準二項式分布
X
′
=
X
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle X'={\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}
在
n
→
∞
{\displaystyle \,n\to \infty \,}
趨近 於標準常態分布 。這一結果稱作棣美弗-拉普拉斯定理 中央極限定理 的特殊形式。基於這一定理可以得到
Pr
(
α
<
X
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
<
β
)
→
Φ
(
β
)
−
Φ
(
α
)
,
{\displaystyle \Pr(\alpha <{\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}<\beta )\to \Phi (\beta )-\Phi (\alpha ),}
其中
Φ
{\displaystyle \,\Phi \,}
累積分布函數 。
常態分布為連續機率分布 ，在近似二項式分布這類離散機率分布時，可將端點向外偏移
0.5
{\displaystyle \,0.5\,}
Pr
(
X
≤
k
)
≈
Φ
(
k
+
0.5
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
)
,
{\displaystyle \Pr(X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k+0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),}
從而提升近似的準確性，這種技巧稱作連續性校正 經驗法則 ，例如要求
n
p
(
1
−
p
)
>
9
{\displaystyle \,np(1-p)>9\,}
p
≤
0.5
{\displaystyle \,p\leq 0.5\,}
n
p
>
5
{\displaystyle \,np>5\,}
p
>
0.5
{\displaystyle \,p>0.5\,}
n
(
1
−
p
)
>
5
{\displaystyle \,n(1-p)>5\,}
當
n
→
∞
,
p
→
0
{\displaystyle \,n\to \infty ,p\to 0\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
卜瓦松分布 。以此為基礎可以得到
Pr
(
X
≤
k
)
≈
e
−
n
p
∑
j
=
0
k
(
n
p
)
j
j
!
.
{\displaystyle \Pr(X\leq k)\approx e^{-np}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(np)^{j}}{j!}}.}
二項式分布與其卜瓦松近似之間的絕對誤差存在上界。若隨機變數
X
{\displaystyle \,X\,}
n
,
p
{\displaystyle \,n,p\,}
Y
{\displaystyle \,Y\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
∑
k
=
0
∞
‖
Pr
(
X
=
k
)
−
Pr
(
Y
=
k
)
‖
≤
min
{
2
n
p
2
,
3
p
}
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\Pr(X=k)-\Pr(Y=k)\|\leq \min\{2np^{2},3p\}.}
通常母數
n
{\displaystyle \,n\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
p
{\displaystyle \,p\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
x
{\displaystyle \,x\,}
動差估計 和最大概似估計 對母數
p
{\displaystyle \,p\,}
估計量 均為
x
n
{\displaystyle \,{\frac {x}{n}}\,}
不偏 的。
母數
p
{\displaystyle \,p\,}
貝氏估計量 事前分布 。若使用連續型均勻分布 作為事前分布，即假設
0
{\displaystyle \,0\,}
1
{\displaystyle \,1\,}
區間 包含
p
{\displaystyle \,p\,}
p
^
=
x
+
1
n
+
2
.
{\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x+1}{n+2}}.}
這被稱作拉普拉斯–貝氏估計量 皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 用於估計在太陽 連續升起
n
{\displaystyle \,n\,}
若使用母數為
α
,
β
{\displaystyle \,\alpha ,\beta \,}
貝塔分布 作為事前分布，則後驗均值估計量為
p
^
=
α
+
x
+
1
α
+
β
+
n
+
2
.
{\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {\alpha +x+1}{\alpha +\beta +n+2}}.}
採用貝塔分布作為事前分布時，事後分布 亦是貝塔分布，即貝塔分布為二項式分布的共軛先驗 。
若要對母數
p
{\displaystyle \,p\,}
區間 形式給出估計，通過求解
∑
j
=
x
n
(
n
j
)
p
L
j
(
1
−
p
L
)
n
−
j
=
α
2
,
{\displaystyle \sum _{j=x}^{n}{n \choose j}p_{L}^{j}(1-p_{L})^{n-j}={\frac {\alpha }{2}},}
∑
j
=
0
x
(
n
j
)
p
U
j
(
1
−
p
U
)
n
−
j
=
α
2
,
{\displaystyle \sum _{j=0}^{x}{n \choose j}p_{U}^{j}(1-p_{U})^{n-j}={\frac {\alpha }{2}},}
所得的區間
(
p
L
,
p
U
)
{\displaystyle \,(p_{L},p_{U})\,}
1
−
α
{\displaystyle \,1-\alpha \,}
信賴區間 ，稱作克洛珀-皮爾森區間（Clopper-Pearson interval ）。
常態分布可以用於推導近似的信賴區間。若用
λ
α
/
2
{\displaystyle \,\lambda _{\alpha /2}\,}
1
−
α
2
{\displaystyle \,1-{\frac {\alpha }{2}}\,}
分位數 ，即
Φ
(
λ
α
/
2
)
=
1
−
α
2
{\displaystyle \,\Phi (\lambda _{\alpha /2})=1-{\frac {\alpha }{2}}\,}
x
n
±
λ
α
/
2
n
x
n
(
1
−
x
n
)
.
{\displaystyle {\frac {x}{n}}\pm {\frac {\lambda _{\alpha /2}}{\sqrt {n}}}{\sqrt {{\frac {x}{n}}\left(1-{\frac {x}{n}}\right)}}.}
Blyth, C. R. Approximate Binomial Confidence Limits . Journal of the American Statistical Association. 1986, 81 : 843–855. doi:10.1080/01621459.1986.10478343 （英語） . Chew, V. Point Estimation of the Parameter of the Binomial Distribution. The American Statistician. 1971, 25 (5): 47–50. doi:10.1080/00031305.1971.10477305 （英語） . Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, Third Edition. Wiley. 1968. ISBN 0-471-25708-7（英語） . Hald, A. A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Wiley. 2003. ISBN 0-471-47129-1（英語） . Hamza, K. The Smallest Uniform Upper Bound on the Distance Between the Mean and the Median of the Binomial and Poisson Distributions. Statistics and Probability Letters. 1995, 23 : 21–25. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-U （英語） . Johnson, N. L.; Kemp, A. W.; Kotz, S. Univariate Discrete Distributions, Third Edition. Wiley. 2005. ISBN 0-471-27246-9（英語） . Kaas, R.; Buhrman, J. M. Mean, Median and Mode in Binomial Distributions. Statistica Neerlandica. 1980, 34 (1): 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x （英語） . Schader, M.; Schmid, F. Two Rules of Thumb for the Approximation of the Binomial Distribution by the Normal Distribution. The American Statistician. 1989, 43 (1): 23–24. doi:10.1080/00031305.1989.10475601 （英語） . Sheu, S. S. The Poisson Approximation to the Binomial Distribution . The American Statistician. 1984, 38 (3): 206–207. doi:10.1080/00031305.1984.10483202 （英語） . Stigler, S. M. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900 . Harvard University Press. 1986. ISBN 0-674-40340-1（英語） .
![{\displaystyle \mu '_{r}=E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}{\frac {S(r,j)n!p^{j}}{(n-j)!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb616ff48171dc34a4694e4951109f642940d8e)
![{\displaystyle \mu _{4}=3[np(1-p)]^{2}+np(1-p)[1-6p(1-p)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc6efa1ae3b379bf77653d9627e8a7d86a9060a)
