子流形

數學上，流形M的子流形是子集S，且本身也有流形的結構，並且內含映射S → M滿足特定屬性。根據具體所需的屬性，有各種不同類型的子流形。不同作者經常採用不同的定義。

形式化定義

下面假設所有流形為C^r類微分流形，r ≥ 1，並且所有映射為C^r類可微。

浸入子流形

浸入子流形，開區間的區間終點映射為箭頭。

流形M的浸入子流形是流形N，帶有給定浸入f : N → M（f : N → f(N)是一個光滑映射，且其雅可比矩陣處處滿秩）。因此，N在M中的像和N存在局域同胚。如果進一步要求N的度量和從M拉回的度量相同，則稱等度浸入子流形。

嵌入子流形

嵌入子流形（也稱正則子流形）是浸入子流形，其浸入映射為同胚。子流形拓撲和它的像（流形M的子集S）的子集拓撲相同。

嵌入子流形也可以內蘊定義：令M為n-維流形，令k為整數，滿足0 ≤ k ≤ n。k-維嵌入子流形是子空間S ⊂ M使得，對每個點p ∈ S，存在圖(U ⊂ M, φ : U → Rⁿ)包含p滿足φ(S ∩ U)是一個k-維平面和φ(U)的交。二元組(S ∩ U, φ|_{S ∩ U})構成S上微分結構的圖冊。

子流形在李群理論中出現頻繁，因為很多李群可以視為非退縮矩陣乘法群的子流形兼子群。

其他變種

文獻中有其他子流形的變種定義。

屬性

給定M的浸入子流形S，其p點的切空間可以視為p在M中的線性子空間。這是因為浸入給出了一個單射

i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M

。

假設S是M的嵌入子流形。若內含映射i : S → M是閉映射則S也稱閉嵌入子流形。這是具有良好屬性的一類子流形。

歐幾里得空間子流形

流形經常被定義為歐幾里得空間Rⁿ的子流形，所以這是一個非常重要的特例。根據惠特尼嵌入定理所有第二可數的光滑n-流形可以光滑地嵌入到R²ⁿ中。而且根據納什嵌入定理，所有緊緻閉流形可以等距嵌入歐幾里得空間。

參考

Lee, John. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 218. New York: Springer. 2003. ISBN 978-0-387-95495-0.
Sharpe, R. W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. 1997. ISBN 978-0-387-94732-7.