弱*拓撲

弱*拓撲是賦範向量空間的對偶空間上的一種拓撲。弱*拓撲的的重要性，在於它使得單位球是緊集（巴拿赫-阿勞格魯定理）；相反地在線性算子範數誘發的拓撲中，單位球未必緊緻。（結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。）

定義

在域$\mathbb {K}$（$\mathbb {K}$是$\mathbb {R}$或$\mathbb {C}$）上的賦範空間$E$中，每一個元素$x$，都可以定義對偶空間$E^{*}$上的一個線性算子${\hat {x}}(f):=f(x)$。弱*拓撲是在$E^{*}$上最弱的拓撲，使得所有這樣的${\hat {x}}:E^{*}\to \mathbb {K}$都是連續的。

弱*拓撲可以更具體的定義，在$E^{*}$上給出它的鄰域基：對任何$f\in E^{*}$，集合

$U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E^{*};|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\}$

其中$x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }$，$\epsilon >0$，是$f$的弱*開的鄰域基。

收斂

弱*拓撲的收斂條件很簡單：序列$(f_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$在弱*拓撲中收斂，如果對任何$x\in E$都有$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$，即$f_{n}$逐點收斂到$f$。弱*收斂記作$f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$。

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果$\|f-f_{n}\|\to 0$，其中$\|\cdot \|$是$E^{*}$的範數，則$f_{n}$必然逐點收斂於$f$，因而有$f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$；但是，$f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f$不一定有$\|f-f_{n}\|\to 0$，甚至可能$\|f_{n}\|\nrightarrow \|f\|$。

半範數

對偶空間$E^{*}$加上弱*拓撲是一個局部凸空間，因此可以由給予$E^{*}$一個半範數的系統定義弱*拓撲。對$x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }$，

$p_{x_{1},\ldots x_{n}}(f):=\max\{|f(x_{1})|,\ldots ,|f(x_{n})|\}$,

構成這樣一個半範數的系統。

參考

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968