大域體

大域體是代數數論研究的主要對象，分成兩類：

• 數體：即有理數體 $\mathbb {Q}$ 的有限擴張。
• 函數體：這裡是指某個有限體 $\mathbb {F} _{q}$ 上有理函數體 $\mathbb {F} _{q}(T)$ 的有限擴張。

大域體與局部體相對，大域體對一賦值作完備化便成為局部體。局部體上的分析較為簡單；數學家通常先由局部體入手，再透過阿代爾環之構造研究整體情形。

戴德金與安里西·韋伯在19世紀末首先發現了數體與黎曼曲面的類比；$\mathbb {Q}$ 類比於複射影直線 $\mathbb {P} ^{1}$，有限擴張類比於分歧覆疊。安德烈·韋伊在1940年提出代數曲線的黎曼猜想，可視作此想法的進一步發展。

代數數論關心的課題原是數體，然而許多猜想或定理都有函數體上的類比，而後者技術上通常比較簡單。因此，研究函數體有助於啟示或釐清數體的情形。模型論上也有手法能將一些函數體的性質轉移至數體。

文獻

• Michael Rosen, Number Theory in Function Fields, Springer (2002). ISBN 0-387-95335-3 .