正規空間

在拓撲學和相關的數學分支中，正規空間（Normal space）、T₄ 空間、T₅ 空間和 T₆ 空間是特別優秀的一類拓撲空間。這些條件是分離公理的個例。

定義

表示為兩側封閉圓圈的閉集 E 和 F，被表示為更大開放圓圈的它們各自的領域 U 和 V 所分離，它們是不相交的。

假定 X 是拓撲空間。X 是正規空間，若且唯若給定任何不相交閉集 E 和 F， 存在 E 的鄰域 U 和 F 的鄰域 V 也是不相交的。用較花巧的術語說，這個條件聲稱 E 和 F 是由鄰域分離的。

X 是 T₄ 空間，如果它是正規空間和豪斯多夫空間。

X 是完全正規空間或繼承正規空間，如果所有 X 的子空間是正規的。顯然 X 是完全正規的，若且唯若任何兩個分離集合可以由鄰域分離。

X 是 T₅ 空間，或完全 T₄ 空間，如果它是完全正規的和豪斯多夫的，或等價的說，如果所有 X 的子空間是 T₄ 的。

X 是完美正規空間，如果任何兩個不相交閉集可以由函數完全分離的。就是說，給定不相交閉集 E 和 F，有從 X 到實直線 R 的連續函數 f 使得 {0} 和 {1} 在 f 下的前像分別是 E 和 F。在這個定義於可以使用單位區間 [0,1]，結果是相同的。明顯的 X 是完美正規的，若且唯若 X 是正規的並且所有閉集是 G_δ 集合。等價的說，X 是完美正規的，若且唯若所有閉集是零集合。所有完美(perfectly)正規空間自動的是完全(completely)正規的。

X 是 T₆ 空間或完美 T₄ 空間，如它是完美正規和豪斯多夫二者。

注意某些數學文獻對術語「正規」和「T₄」與包含這些詞的術語使用了不同的定義。這裡給出的定義是今天最常用的。但是某些作者切換了這兩個術語的意義，或把它們用做同一個條件的兩個同義詞，在閱讀數學文獻的時候要注意看出作者使用的是何種定義。(但是「T₅」總是有和「完全 T₄」相同的意義)。更多詳情參見分離公理的歷史。

你還會見到術語如正規正則空間和正規豪斯多夫空間，它們簡單的意味著這個空間是正規的並滿足提及的其他條件。特別的，正規豪斯多夫空間同於 T₄ 空間。這些術語是有用的，因為它們更少歷史性歧義。在這裡我們使用這些術語，用「正規豪斯多夫」替代「T₄」，用「完全正規豪斯多夫」替代「T₅」。

全部(fully)正規空間和全部 T₄ 空間在仿緊緻空間中討論。

局部正規空間是其中所有有開鄰域的點是正規的拓撲空間。所有正規空間都是局部正規的，但是反過來不是真的。不是正規的完全正則局部正規空間的經典的例子是Niemitzki平面。

正規空間的例子

在數學分析中遇到的多數空間都是正規豪斯多夫空間，或至少是正規正則空間:

• 所有度量空間(因此所有可度量空間)是完美正規豪斯多夫空間；
• 所有偽度量空間(因此所有可偽度量空間)是完美正規正則空間，儘管一般不是豪斯多夫空間；
• 所有緊緻豪斯多夫空間是正規空間；
• 特別是，吉洪諾夫空間的斯通-切赫緊化是正規豪斯多夫空間；
• 推廣上述例子，所有仿緊緻豪斯多夫空間是正規的，而所有仿緊緻正則空間是正規的；
• 所有仿緊緻拓撲流形是完美正規豪斯多夫空間。但是存在甚至不是正規的非仿緊緻流形。
• 所有在全序集合上的序拓撲是繼承正規的和豪斯多夫的。
• 所有正則第二可數空間是完全正規的，而所有正則林德勒夫空間是正規的。

還有所有全部正規空間是正規的(即使不是正則的)。謝爾賓斯基空間是非正則的正規空間的例子。

非正規空間的例子

非正規拓撲的重要例子是在代數簇或交換環譜上的 Zariski拓撲，它用於代數幾何。

與分析有些關係的非正規空間是所有從實直線 R 到自身的函數的拓撲向量空間，帶有逐點收斂拓撲。 更一般的說，A. H. Stone的一個定理聲稱不可數多非緊緻豪斯多夫空間的乘積永遠不是正規的。

性質

正規空間的主要重要性在於它們都足夠容納連續實數值函數，如下列對任何正規空間 X 都有限的定理所表達的。

烏雷松引理: 如果 A 和 B 是 X 的兩個不相交閉集，則存在從 X 到實直線 R 的連續函數 f 使得 f(x) = 0 對於所有 A 中的 x 和 f(x) = 1 對於所有 B 中的 x。 事實上，我們可以完全在單位區間 [0,1] 內取 f 的值。(用較花巧的術語來說，不相交閉集不只是由鄰域分離的，還是由函數分離的。)

更一般的，蒂茨擴張定理: 如果 A 是 X 的閉子集而 f 是從 A 到 R 的連續函數，則存在連續函數 F: X → R，它在對於所有 A 中的 x 有 F(x) = f(x) 的意義上擴張了 f。

如果 U 是正規空間 X 的局部有限開覆蓋，則有完全從屬於 U 的一個單位劃分。

事實上，任何滿足這些條件之一的空間都必定是正規的。

正規空間的乘積不必需是正規的。這個事實在被 Robert Sorgenfrey 首次證明時是很令人驚訝的。這種現象的一個例子是 Sorgenfrey平面。還有，正規空間的子集不必需是正規的(例如，不是所有正規豪斯多夫空間都是完成正規豪斯多夫空間)，因為所有吉洪諾夫空間都是它的 Stone-Cech 緊緻化(它是正規豪斯多夫)的子集。更明確的例子是吉洪諾夫支架。

與其他分離公理的聯繫

如果正規空間是 R₀，則它事實上是完全正則空間。因此從「正規 R₀」到「正規完全正則」的任何東西都同於我們叫做「正規正則」的東西。選取柯爾莫果洛夫商，我們看到所有正規 T₁ 空間都是吉洪諾夫空間。它們一般被叫做「正規豪斯多夫」空間。

這些變體的反例可以在前面章節中找到。特別是，謝爾賓斯基空間是正規但非正則的，而從 R 到自身的函數空間是吉洪諾夫的但不是正規的。

引用

• Kemoto, Nobuyuki. Higher Separation Axioms. K.P. Hart, J. Nagata, and J.E. Vaughan (編). Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science. 2004. ISBN 0-444-50355-2. 
• Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).