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矛盾

兩個或多個命題之間的邏輯不兼容
提示：此條目頁的主題不是茅盾。
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在傳統邏輯學中，如果一個命題與自身或既定事實相衝突，則稱之為矛盾（英語：contradiction，又稱恆假）。這種情況經常用來發現人們的不誠實信念或偏見。亞里斯多德提出的無矛盾律，進一步說明了應用邏輯的普遍原則，即一件事物不可能在同一時間對於相同的對象同時為是與非[1]。

這幅圖解顯示了亞里斯多德邏輯中，對立四邊形內不同直言命題之間存在的矛盾關聯。

在當代的形式邏輯和類型論領域，「矛盾」一詞專指某個特定的命題，通常使用偽符號（英語：Up tack）（（英語：Bottom type））來表示。根據邏輯規則，如果一個命題能導出「假（英語：False (logic)）」，則該命題被視為矛盾，亦即它是一個永遠不成立的命題（也就是說，自我矛盾的論述）[2][3]。這個概念可以延伸應用到一系列的論述上，這時可以說這一系列論述中「包含有」矛盾。

詞源

漢語辭源出自《韓非子》中《難一》所述故事：

白話文大意為：有一位賣盾牌和賣矛的楚國人，他讚譽自己賣的盾牌說：「我的盾牌堅固無比，任何物件都無法刺穿它。」又誇讚自己賣的矛說：「我的矛鋒利無比，於任何物件都可以刺穿。」有人問他說：「用你的矛來試著刺你的盾，將會如何？」其人一句話都無法回應。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛，是不可以同時存在。

日本明治時代哲學家井上哲次郎首次翻譯西文中的「contradiction」為「矛盾」。

邏輯學上的矛盾

邏輯學上，矛盾、自相矛盾或牴觸（contradiction）被更加特殊化的定義為同時斷言一個命題和它的否定。這個想法基於亞里斯多德的無矛盾律，它聲稱「你不能同時聲稱某事物在同一方面既是又不是」。

當我們說命題S與P矛盾時，意思是二者相當於A和非A的關係，也就是S與P不能同時為真、亦不能同時為假。

舉例來說：「所有學生都用功」和「有些學生不用功」就是在邏輯上矛盾；另一個例子是「死刑已被廢除，嚴格禁止包括謀殺在內的任何罪行使用死刑；但為了受害者著想及平衡各方意見，若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪，政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」，在其中「死刑已被廢除」代表的就是「這個國家沒有死刑」，而「若謀殺受害者家屬強烈主張兇手必須以死謝罪，政府有義務協助受害者家屬以最快的速度讓罪犯接受死亡」則指向「這個國家有死刑」這點，顯然一個國家或地區不可能同時有死刑又沒有死刑，此種法律是自相矛盾。

習慣上說的矛盾其實是指邏輯學上的不一致，矛盾必然不一致，然而不一致不必然矛盾。

利用矛盾的證明

在演繹邏輯和數學中，矛盾通常作為有什麼東西錯誤了的跡象，你需要折回你的推理的步驟並"檢查你的前提"。這在數學中的反證法中發揮了巨大的作用：因為矛盾永遠不能為真，所以它永遠不能是有著全部為真的前提的有效論證的結論。要構造一個利用矛盾的證明，你需要從一組前提構造一個有效的論證，得出是邏輯矛盾的一個結論。因為結論為假，並且論證是有效的，唯一的可能性是一個或多個前提為假。在很多關鍵的數學證明中使用了這種方法，比如歐幾里得對沒有最大素數的證明，和康托爾對在0和1之間有不可數個實數的對角線證明。

涉及矛盾的悖論

參見：爆炸原理

矛盾同許多有名的悖論有關。其中之一是在一階謂詞演算中從矛盾中可以推導出任何命題（也叫陳述）。換句話說，依據謂詞演算，不管P和Q意味著什麼，如果P和¬P都為真的，則Q為真。在這個事實的表達中，矛盾被稱為在一階邏輯中的"邏輯爆炸"。

例如，下列論證是嚴格有效，就是說前提在邏輯上蘊涵結論：

  1. 前提: 5既是偶數又是奇數。（就是在上述公式中的P ∧ ¬P）。
  2. 結論：神存在。（就是Q）。

下面的論證也是有效的：

  1. 前提: 5既是偶數又是奇數。（就是P ∧ ¬P）。
  2. 結論：神不存在。（就是¬Q）。

注意這兩個論證共有的前提是錯誤的；5是奇數而不是偶數。所以此等論證都不是可靠，這意味著它們都沒有為信賴它的結論給出一個邏輯基礎。

可能大多數人認為這是怪異的，如果5既是偶數又是奇數，就能夠在邏輯上得出明顯的不相關的任何事情比如 神的存在性的結論。更加怪異的是，這個悖論還蘊涵了，如果一個人有是矛盾的任何兩個信仰，則這個人在邏輯上證實任何可想像到的信仰。

這個悖論的證明

即使謂詞演算的基本規則對於好的推理方式都是可靠的，它們在一起就會蘊涵這個悖論。有兩個方法證明它。

第一個方法來自合取和蘊涵的真值表定義：

  1. (P ∧ ¬P)為假。
  2. 所以，(P ∧ ¬P) → Q為空虛真理。

第二個方法基於真值表的在美學上的缺陷：

  1. 假設P ∧ ¬P。基於這個假定我們可以推導出：
    1. P（合取除去）
    2. ¬P（合取除去）
    3. 假設¬Q。基於這個假定我們可以推導出：
      1. P (前面的結果)
    4. 所以¬Q → P（條件證明）
    5. ¬P → Q（前面一行的逆反命題）
    6. Q（肯定前件）
  2. 所以 (P ∧ ¬P) → Q（條件證明）

參考文獻

  1. ^ Horn, Laurence R., Contradiction, Zalta, Edward N. (編), The Stanford Encyclopedia of Philosophy Winter 2018, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2018 [2019-12-10], （原始內容存檔於2019-03-18） 
  2. ^ Contradiction (logic). TheFreeDictionary.com. [2020-08-14]. （原始內容存檔於2023-07-15）. 
  3. ^ Tautologies, contradictions, and contingencies. www.skillfulreasoning.com. [2020-08-14]. （原始內容存檔於2024-04-18）. 

參見

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