調整函式

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調整函式(英語:Scaling Function) 分辨率為2-j的 f 的近似值被定義為Vj上的正交投影PVjf。

為了計算這個投影,我們必須找到Vj的標準正交基底。

定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}n∈Z正交化,並通過擴張和平移調整函式Φ,建構每個空間Vj的正交基底。

避免混淆分辨率2-j和尺度 2j,在這裡,分辨率的概念被丟棄,並且PVjf 為尺度2j的近似值。


定理

令 {Vj }j∈Z為多分辨率近似,並且Ø為具有傅立葉變換的調整函數

  •  

其中

  •  

當j∈Z,Vj的正交基底為{Φj,n}n∈Z

定理證明

為了建造一個標準正交基底,我們尋找一個函數Φ∈V0。 因此,它可以在{θ(t-n)}n∈Z的基礎上擴展:

  •  

這意味著

  •  

其中  是週期2W的有限能量的傅立葉級數。 為了計算  我們表示了

頻域中{Φ(t-n)}n∈Z的正交性。 設 

對任意(n,p)∈Z2而言

  •  

因此,只有在 時,{Φ(t-n)}n∈Z是正交的。

計算此等式的傅里葉變換得到

  •  

實際上, 的傅里葉變換是 ,取樣函數可以對其傅立葉變換進行週期化。

如果我們選擇下列式子,則上式將被證實

  •  

其中分母具有嚴格上下限,因此a是有限能量的2W週期函數。

近似值

通過縮放正交基礎的擴展,獲得f在Vj上的正交投影

  •  

內積為

  •  

在尺度2j處擁有離散近似。 我們可以將它們重寫為卷積形式:

  •   , with  

傅立葉轉換  的能量通常集中在[-π,π]中。

因此, 的傅立葉轉換 主要是在[-2-jπ,2-jπ]中,不可忽略不計。

離散近似 aj[n] 是以間隔 2j 取樣的 f 低通濾波。

參考資料

  1. S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd  edition, 2009.