调整函式

调整函式（英语：Scaling Function）分辨率为2^-j的 f 的近似值被定义为V_j上的正交投影P_Vjf。

为了计算这个投影，我们必须找到V_j的标准正交基底。

定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}_n∈Z正交化，并通过扩张和平移调整函式Φ，建构每个空间V_j的正交基底。

避免混淆分辨率2^-j和尺度 2^j，在这里，分辨率的概念被丢弃，并且P_Vjf 为尺度2^j的近似值。

定理

令 {V_j }_j_∈Z为多分辨率近似，并且Ø为具有傅立叶变换的调整函数

${\hat {\phi }}(\omega )={\dfrac {{\hat {\theta }}(\omega )}{(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{1/2}}}$

其中

当j∈Z，V_j的正交基底为{Φ_j,n}_n∈Z

为了建造一个标准正交基底，我们寻找一个函数Φ∈V₀。因此，它可以在{θ(t-n)}_n∈Z的基础上扩展：

这意味着

其中 ${\hat {a}}$ 是周期2W的有限能量的傅立叶级数。为了计算 ${\hat {a}}$ 我们表示了

频域中{Φ(t-n)}_n∈Z的正交性。设 ${\bar {\phi }}(t)=\phi ^{*}(-t)$ 。

对任意(n,p)∈Z²而言

${\begin{aligned}\left\langle \phi (t-n),\phi (t-p)\right\rangle &=\int _{-\infty }^{+\infty }\phi (t-n)\phi ^{*}(t-p)\mathrm {d} t\\&=\phi \star {\bar {\phi }}(p-n)\end{aligned}}$

因此，只有在 $\phi \star {\bar {\phi }}(n)=\delta [n]$ 时，{Φ(t-n)}_n∈Z是正交的。

计算此等式的傅里叶变换得到

实际上， $\phi \star {\bar {\phi }}(n)$ 的傅里叶变换是 $|{\hat {\phi }}(\omega )|^{2}$ ，取样函数可以对其傅立叶变换进行周期化。

如果我们选择下列式子，则上式将被证实

${\hat {a}}(\omega )=(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{-1/2}$

其中分母具有严格上下限，因此a是有限能量的2W周期函数。

通过缩放正交基础的扩展，获得f在V_j上的正交投影

$P_{V_{j}}f=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left\langle f,\phi _{j,n}\right\rangle \phi _{j,n}$

内积为

在尺度2^j处拥有离散近似。我们可以将它们重写为卷积形式：

${\begin{aligned}a_{j}[n]&=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t){\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\phi ({\frac {t-2^{j}n}{2^{j}}})\mathrm {d} t\\&=f\star {\bar {\phi }}_{j}(2^{j}n)\end{aligned}}$ , with ${\bar {\phi }}_{j}(t)={\sqrt {2^{-j}}}\phi (2^{-j}t)$

傅立叶转换 ${\hat {\phi }}$ 的能量通常集中在[-π，π]中。

因此， ${\bar {\phi }}_{j}(t)$ 的傅立叶转换 ${\sqrt {2^{j}}}{\hat {\phi }}^{*}(2^{j}\omega )$ 主要是在[-2^-jπ，2^-jπ]中，不可忽略不计。

离散近似 a_j[n] 是以间隔 2^j 取样的 f 低通滤波。

S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd edition, 2009.