调整函式

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调整函式(英语:Scaling Function) 分辨率为2-j的 f 的近似值被定义为Vj上的正交投影PVjf。

为了计算这个投影,我们必须找到Vj的标准正交基底。

定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}n∈Z正交化,并通过扩张和平移调整函式Φ,建构每个空间Vj的正交基底。

避免混淆分辨率2-j和尺度 2j,在这里,分辨率的概念被丢弃,并且PVjf 为尺度2j的近似值。


定理

令 {Vj }j∈Z为多分辨率近似,并且Ø为具有傅立叶变换的调整函数

  •  

其中

  •  

当j∈Z,Vj的正交基底为{Φj,n}n∈Z

定理证明

为了建造一个标准正交基底,我们寻找一个函数Φ∈V0。 因此,它可以在{θ(t-n)}n∈Z的基础上扩展:

  •  

这意味着

  •  

其中  是周期2W的有限能量的傅立叶级数。 为了计算  我们表示了

频域中{Φ(t-n)}n∈Z的正交性。 设 

对任意(n,p)∈Z2而言

  •  

因此,只有在 时,{Φ(t-n)}n∈Z是正交的。

计算此等式的傅里叶变换得到

  •  

实际上, 的傅里叶变换是 ,取样函数可以对其傅立叶变换进行周期化。

如果我们选择下列式子,则上式将被证实

  •  

其中分母具有严格上下限,因此a是有限能量的2W周期函数。

近似值

通过缩放正交基础的扩展,获得f在Vj上的正交投影

  •  

内积为

  •  

在尺度2j处拥有离散近似。 我们可以将它们重写为卷积形式:

  •   , with  

傅立叶转换  的能量通常集中在[-π,π]中。

因此, 的傅立叶转换 主要是在[-2-jπ,2-jπ]中,不可忽略不计。

离散近似 aj[n] 是以间隔 2j 取样的 f 低通滤波。

参考资料

  1. S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd  edition, 2009.