調整函式

調整函式（英語：Scaling Function）分辨率為2^-j的 f 的近似值被定義為V_j上的正交投影P_Vjf。

為了計算這個投影，我們必須找到V_j的標準正交基底。

定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}_n∈Z正交化，並通過擴張和平移調整函式Φ，建構每個空間V_j的正交基底。

避免混淆分辨率2^-j和尺度 2^j，在這裡，分辨率的概念被丟棄，並且P_Vjf 為尺度2^j的近似值。

定理

令 {V_j }_j_∈Z為多分辨率近似，並且Ø為具有傅立葉變換的調整函數

${\hat {\phi }}(\omega )={\dfrac {{\hat {\theta }}(\omega )}{(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{1/2}}}$

其中

當j∈Z，V_j的正交基底為{Φ_j,n}_n∈Z

為了建造一個標準正交基底，我們尋找一個函數Φ∈V₀。因此，它可以在{θ(t-n)}_n∈Z的基礎上擴展：

這意味著

其中 ${\hat {a}}$ 是週期2W的有限能量的傅立葉級數。為了計算 ${\hat {a}}$ 我們表示了

頻域中{Φ(t-n)}_n∈Z的正交性。設 ${\bar {\phi }}(t)=\phi ^{*}(-t)$ 。

對任意(n,p)∈Z²而言

${\begin{aligned}\left\langle \phi (t-n),\phi (t-p)\right\rangle &=\int _{-\infty }^{+\infty }\phi (t-n)\phi ^{*}(t-p)\mathrm {d} t\\&=\phi \star {\bar {\phi }}(p-n)\end{aligned}}$

因此，只有在 $\phi \star {\bar {\phi }}(n)=\delta [n]$ 時，{Φ(t-n)}_n∈Z是正交的。

計算此等式的傅里葉變換得到

實際上， $\phi \star {\bar {\phi }}(n)$ 的傅里葉變換是 $|{\hat {\phi }}(\omega )|^{2}$ ，取樣函數可以對其傅立葉變換進行週期化。

如果我們選擇下列式子，則上式將被證實

${\hat {a}}(\omega )=(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{-1/2}$

其中分母具有嚴格上下限，因此a是有限能量的2W週期函數。

通過縮放正交基礎的擴展，獲得f在V_j上的正交投影

$P_{V_{j}}f=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left\langle f,\phi _{j,n}\right\rangle \phi _{j,n}$

內積為

在尺度2^j處擁有離散近似。我們可以將它們重寫為卷積形式：

${\begin{aligned}a_{j}[n]&=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t){\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\phi ({\frac {t-2^{j}n}{2^{j}}})\mathrm {d} t\\&=f\star {\bar {\phi }}_{j}(2^{j}n)\end{aligned}}$ , with ${\bar {\phi }}_{j}(t)={\sqrt {2^{-j}}}\phi (2^{-j}t)$

傅立葉轉換 ${\hat {\phi }}$ 的能量通常集中在[-π，π]中。

因此， ${\bar {\phi }}_{j}(t)$ 的傅立葉轉換 ${\sqrt {2^{j}}}{\hat {\phi }}^{*}(2^{j}\omega )$ 主要是在[-2^-jπ，2^-jπ]中，不可忽略不計。

離散近似 a_j[n] 是以間隔 2^j 取樣的 f 低通濾波。

S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd edition, 2009.