數學上,超極限是幾何的構造法,對一個度量空間序列Xn指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的格羅莫夫-豪斯多夫收斂

超濾子

在自然數集 上的超濾子ω,是一個有限可加的集合函數(可視為有限可加測度 ,從自然數集的冪集 映射到集合{0,1}上,使得 。一個在 上的超濾子ω 稱為非主要的,若對所有有限子集 , 都有ω(F)=0。

點序列關於一個超濾子的極限

ω 上的非主要超濾子。 若 度量空間(X,d)上的點序列,xX,稱xxnω -極限,記為 ,若對所有 都有

 

不難看出:

  • 若一個點序列的ω-極限存在,則是唯一的。
  • 若在標準意義下 ,則 。(這性質成立,關鍵在超濾子是非主要的。)

若(X,d)緊緻,則每個點序列都存在ω-極限。故此,實數的有界序列都存在ω-極限。

有基點度量空間的超極限

ω是在 上的非主要超濾子。設 (Xn,dn) 是度量空間,有基點pnXn

考慮序列 ,其中xnXn。這個序列稱為容許的,若實數序列(dn(xn,pn))n有界,也就是存在正實數C,使得 。記容許序列的集合為 

由三角不等式可知對兩個容許序列  ,序列(dn(xn,yn))n有界,因此存在ω-極限 。在 中定義關係 如下:對 ,每當 時便有  。易知 等價關係

序列(Xn,dn, pn)關於ω超極限是一個度量空間 ,定義如下。[1]

作為集合,有 

對兩個容許序列   等價類 ,定義 

不難看到 有良好定義,且為  上的度量

 

備註

  1. ^ John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Definition 7.19, p. 107.