超濾子
點序列關於一個超濾子的極限
有基點度量空間的超極限
設ω是在 上的非主要超濾子。設 (Xn,dn) 是度量空間,有基點pn∈Xn。
考慮序列 ,其中xn∈Xn。這個序列稱為容許的,若實數序列(dn(xn,pn))n有界,也就是存在正實數C,使得 。記容許序列的集合為 。
由三角不等式可知對兩個容許序列 及 ,序列(dn(xn,yn))n有界,因此存在ω-極限 。在 中定義關係 如下:對 ,每當 時便有 。易知 是等價關係。
序列(Xn,dn, pn)關於ω的超極限是一個度量空間 ,定義如下。[1]
作為集合,有 。
對兩個容許序列 及 的 等價類 ,定義
不難看到 有良好定義,且為 上的度量。
記 。
備註