数学上,超极限是几何的构造法,对一个度量空间序列Xn指定一个度量空间为其极限。超极限推广了度量空间的格罗莫夫-豪斯多夫收敛

超滤子

在自然数集 上的超滤子ω,是一个有限可加的集合函数(可视为有限可加测度 ,从自然数集的幂集 映射到集合{0,1}上,使得 。一个在 上的超滤子ω 称为非主要的,若对所有有限子集 , 都有ω(F)=0。

点序列关于一个超滤子的极限

ω 上的非主要超滤子。 若 度量空间(X,d)上的点序列,xX,称xxnω -极限,记为 ,若对所有 都有

 

不难看出:

  • 若一个点序列的ω-极限存在,则是唯一的。
  • 若在标准意义下 ,则 。(这性质成立,关键在超滤子是非主要的。)

若(X,d)紧致,则每个点序列都存在ω-极限。故此,实数的有界序列都存在ω-极限。

有基点度量空间的超极限

ω是在 上的非主要超滤子。设 (Xn,dn) 是度量空间,有基点pnXn

考虑序列 ,其中xnXn。这个序列称为容许的,若实数序列(dn(xn,pn))n有界,也就是存在正实数C,使得 。记容许序列的集合为 

由三角不等式可知对两个容许序列  ,序列(dn(xn,yn))n有界,因此存在ω-极限 。在 中定义关系 如下:对 ,每当 时便有  。易知 等价关系

序列(Xn,dn, pn)关于ω超极限是一个度量空间 ,定义如下。[1]

作为集合,有 

对两个容许序列   等价类 ,定义 

不难看到 有良好定义,且为  上的度量

 

备注

  1. ^ John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Definition 7.19, p. 107.