超极限

数学上，超极限是几何的构造法，对一个度量空间序列X_n指定一个度量空间为其极限。超极限推广了度量空间的格罗莫夫－豪斯多夫收敛。

超滤子

在自然数集$\mathbb {N}$上的超滤子ω，是一个有限可加的集合函数（可视为有限可加测度）$\omega :2^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}$，从自然数集的幂集$2^{\mathbb {N} }$映射到集合{0,1}上，使得$\omega (\mathbb {N} )=1$。一个在$\mathbb {N}$上的超滤子ω 称为非主要的，若对所有有限子集$F\subseteq \mathbb {N}$， 都有ω(F)=0。

点序列关于一个超滤子的极限

设ω是$\mathbb {N}$上的非主要超滤子。 若$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$是度量空间(X,d)上的点序列，x∈ X，称x是x_n的ω -极限，记为$x=\lim _{\omega }x_{n}$，若对所有$\epsilon >0$都有

$\omega \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}=1.$

不难看出：

• 若一个点序列的ω-极限存在，则是唯一的。
• 若在标准意义下$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$，则$x=\lim _{\omega }x_{n}$。（这性质成立，关键在超滤子是非主要的。）

若(X,d)紧致，则每个点序列都存在ω-极限。故此，实数的有界序列都存在ω-极限。

有基点度量空间的超极限

设ω是在$\mathbb {N}$上的非主要超滤子。设 (X_n,d_n) 是度量空间，有基点p_n∈X_n。

考虑序列$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，其中x_n∈X_n。这个序列称为容许的，若实数序列(d_n(x_n,p_n))_n有界，也就是存在正实数C，使得$d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C$。记容许序列的集合为${\mathcal {A}}$。

由三角不等式可知对两个容许序列$\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$及$\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，序列(d_n(x_n,y_n))_n有界，因此存在ω-极限${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})$。在${\mathcal {A}}$中定义关系$\sim$如下：对$\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}$，每当${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$时便有 $\mathbf {x} \sim \mathbf {y}$。易知$\sim$ 是等价关系。

序列(X_n,d_n, p_n)关于ω的超极限是一个度量空间$(X_{\infty },d_{\infty })$，定义如下。

作为集合，有$X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }$。

对两个容许序列$\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$及$\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$的$\sim$等价类$[\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]$，定义$d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).$

不难看到$d_{\infty }$有良好定义，且为 $X_{\infty }$上的度量。

记$(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$。