莫尔斯理论

微分拓扑中,莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解,流形上的可微函数在典型的情况下,直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构柄分解,并得到关于它们的同调的信息。

在莫尔斯之前,阿瑟·凯莱麦克斯韦测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线(路径的能量泛函临界点)。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。 莫尔斯理论在复流形中的类似理论是皮卡第–莱夫谢茨理论

基本概念

 
鞍点

考虑山地地表表面M(或流形)。若函数f 给出当点海拔,则 中一点的原像就是一条等高线(或水平集)。等高线的连通组分或者是点,或者是简单闭合曲线,或者是有二重点的闭合曲线。等高线也可能有更高阶的点(三重点等等),但不稳定,可能因地形的轻微变化而消失。等高线中的二重点出现在鞍点或通路。

 
鞍点附近的等高线

想象用水淹没等高线下的地形。水位达到a时,水下的表面是 ,海拔不高于a的点。想象一下随着水位上升,这个面的拓扑结构将如何变化。除了当a经过临界点的海拔时,f梯度都为0(更一般地,作为切空间之间线性映射雅可比矩阵不具有最大)。也就是说,除非(1)水流注入盆地,(2)覆盖鞍点(山道),或(3)淹没山顶,否则 的拓扑不变。

 
环面

盆地、山路、山顶(即最小点、鞍点、最大点)这三类临界点,一般与指标(index)有关,即f从该点递减的独立方向数。或者说,f的非退化临界点p的指标是Mp切空间的最大子空间的维度,其中f黑塞矩阵是负定的。盆地、山路、山顶的指标分别是 

考虑更一般的面,令M是方向如图所示的环面f还是点到平面的距离。可以再次分析水下面 的拓扑结构如何随水位a上升而变化。

 
 时,由 形成的圆柱体(右上)与附着于圆盘的1-胞腔(左下)同伦等价。
 
 时,由 形成的去圆盘环面(右上)与附着于圆柱的1-胞腔(左下)同伦等价。

从环面底部开始,令 分别是指标为 的临界点,对应最小值、两个鞍点、最大值。 时, 是空集;a经过p的海拔之后有 ,则 圆盘,它同伦等价于“附着”到空集的一个点(0-胞腔)。接着,a越过q的海拔时有 ,则 是圆柱,同伦等价于附着了1-胞腔的圆盘(左图)。a越过r的海拔时有 ,则 是去圆盘的环面,同伦等价于附着了1-胞腔的圆柱(右图)。最后,a高于s的海拔后, 便是环面了,即去掉一个圆盘(2-胞腔)并重新附着的环面。

这说明了以下规则:除非a越过临界点,否则 的拓扑不变;遇到临界点时,一个 -胞腔会被附着到 ,其中 是点的指标。这没有说明两个临界点位于同一高度时会发生什么,可以通过扰动f来解决。若是嵌入欧氏空间的景观或流形,这种扰动可能只是稍微倾斜、旋转坐标系。

必须注意不能使临界点退化。设想退化会造成什么问题:令  。则0是f的一个临界点,但a经过0时 的拓扑并不改变。这是因为f在0的二阶导 ,也就是f黑塞矩阵为0,临界点退化。这种情形是不稳定的,因为将f扰动为 ,则退化的临界点或者被移除( )或者分解为两个非退化临界点( )。

形式发展

对于微分流形M上的实值光滑函数 f微分为0的点称作f临界点,在f下的像称作临界值。若临界点p处,二阶偏导数矩阵(黑塞矩阵)非奇异,则p称作非退化临界点;若黑塞矩阵是奇异的,则p称作退化临界点

函数    时,原点是f的一个临界点。若 ,则此临界点是非退化的(即f具有形式 );若 ,则此临界点是退化的(即f具有形式 )。退化临界点的一个不太平凡的例子是猴鞍面的原点。

f的非退化临界点p指标(index)是Mp处的切空间中黑塞矩阵为负定阵的最大子空间的维数。这与指标是f递减的方向个数的概念直观对应。临界点的退化性和指标同所用的局部坐标系无关,如西尔维斯特惯性定理所示。

莫尔斯引理

p 的非退化临界点。则,在p邻域U中存在 ,使得 且在整个U  其中 等于fp处的指标。作为莫尔斯引理的推论,可以看到非退化临界点是孤点(关于复数域的扩张,可见复莫尔斯引理。关于推广,见莫尔斯–帕莱引理)。

基本定理

流形M上的光滑实值函数若无退化临界点,则称作莫尔斯函数。莫尔斯理论的基本结果表明,几乎所有函数都是莫尔斯函数。技术上,莫尔斯函数形成了 拓扑中所有光滑函数 的一个开稠密子集,这有时表述为“典型的函数是莫尔斯的”或“通有的函数是莫尔斯的”。

如上述,我们感兴趣的是 的拓扑何时会随着a的变化而变化。下面的定理给出了这个问题的一半答案。

定理.fM上的光滑实值函数, ,且 的,且ab间无临界值。则 微分同胚  形变收缩 上。

我们还有兴趣知道,a经过临界点时 的拓扑会怎样变化。下面的定理回答了这个问题。

定理.fM上的光滑实值函数,p是指标为 f的非退化临界点, 。设 是紧的,且除了q以外不包含临界点。则 同伦等价 ,并附加了一个 -胞腔。

这些结果是对上一节所述“规则”的推广与形式化。

用前面两个结果以及微分流形上存在莫尔斯函数的事实,可以证明微分流形是CW复形,指标为n的临界点都附加了n-胞腔。可在临界水平面上安排一个临界点来证明,通常通过类梯度向量场重排临界点来实现。

莫尔斯不等式

莫尔斯理论可用于证明流形同调的一些有力结果。函数 的指标为 的临界点数量等于“爬升”f得到的M上CW结构中 -胞腔的数量。利用拓扑空间同调群的秩的交替和等于链群(计算同调用)的秩的交替和,用胞腔链群(见胞腔同调),很明显欧拉示性数 等于   其中 是指标为 的临界点数量。同样根据胞腔同调,CW复形M的第n同调群的秩不大于Mn-胞腔的数量。于是,第 同调群的秩、即贝蒂数 不大于M上莫尔斯函数的指标为 的临界点数量。强化这些事实可得到莫尔斯不等式 

特别地   都有  

这给出了研究流形拓扑的有力工具。假设在闭流形上存在莫尔斯函数 ,恰有k个临界点,则f的存在以何种方式限制了M?Georges Reeb (1952)研究了 情形,里布球面定理指出,M同胚于球面  情形只可能出现于少数低维情形,M同胚于伊尔斯–柯伊伯流形爱德华·威滕 (1982)考虑扰动算子 德拉姆复形,提出了莫尔斯不等式的解析方法。[1][2]

用于闭2-流形的分类

莫尔斯理论可用于对闭2-流形在微分同胚意义上进行分类。若M有向,则M依其亏格g分类,且与具有g柄的球面微分同胚:若 ,则M微分同胚于2-球面;若 ,则M微分同胚于g 2-环面的连通和。若N无向,则M依正数g分类,微分同胚于g实射影空间 的连通和。特别地,当且仅当两闭2-流形微分同胚时,它们同胚。[3][4]

莫尔斯同调

莫尔斯同调是理解光滑流形同调一种很简单的方法。莫尔斯同调使用莫尔斯函数和黎曼度量的一般选择来定义,基本定理是:所得的同调是流形的不变量(即与函数和度量无关),同构于流形的奇异同调;这意味着莫尔斯和奇异贝蒂数一致,并给出了莫尔斯不等式的直接证明。莫尔斯同调在辛几何中的类似物是弗洛尔同调

莫尔斯–博特理论

莫尔斯函数的概念可以推广到以非退化流形作为临界点的函数。莫尔斯–博特函数是流形上的光滑函数,其临界集是闭子流形,它的黑塞矩阵在法向上非退化(等价地,临界点处的黑塞矩阵核等于对临界子流形的切空间)。莫尔斯函数是临界流形为0维时的特例(于是临界点处的黑塞矩阵在每个方向上非退化,即无核)。

指标可被自然地认为是一对   其中 是不稳定流形在临界流形给定点上的维度, 临界流形维度。若莫尔斯–博特函数在临界轨迹(locus)上被小函数扰动,则在未扰动函数的临界流形上,扰动函数所有临界点的指标将介于  之间。

莫尔斯–博特函数非常有用,因为一般的摩尔斯函数不易处理。能直观看到、可轻松计算的函数通常具有对称性。拉乌尔·博特在最初证明博特周期性定理时使用了莫尔斯–博特理论。

圆形函数是莫尔斯–博特函数的例子,其中临界集是圆(的不交并)。

莫尔斯同调也可用于莫尔斯–博特函数;莫尔斯–博特同调中的微分是由谱序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫尔斯–博特版本的辛场论时勾勒出一种方法,但由于分析上的巨大困难,这项工作从未发表。

另见

参考文献

  1. ^ Witten, Edward. Supersymmetry and Morse theory. J. Differential Geom. 1982, 17 (4): 661–692. doi:10.4310/jdg/1214437492 . 
  2. ^ Roe, John. Elliptic Operators, Topology and Asymptotic Method. Pitman Research Notes in Mathematics Series 395 2nd. Longman. 1998. ISBN 0582325021. 
  3. ^ Gauld, David B. Differential Topology: an Introduction . Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 72. Marcel Dekker. 1982. ISBN 0824717090. 
  4. ^ Shastri, Anant R. Elements of Differential Topology. CRC Press. 2011. ISBN 9781439831601. 

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