莫爾斯理論

微分拓撲中,莫爾斯理論使人們能通過流形上的可微函數分析流形的拓撲。根據馬斯頓·莫爾斯的基本見解,流形上的可微函數在典型的情況下,直接反映了該流形的拓撲。莫爾斯理論允許人們在流形上找到CW結構柄分解,並得到關於它們的同調的信息。

在莫爾斯之前,阿瑟·凱萊麥克斯韋測繪學中發展了莫爾斯理論中的一些思想。莫爾斯最初將他的理論用於測地線(路徑的能量泛函臨界點)。這些技術被拉烏爾·博特用於他的著名的博特周期性定理的證明中。 莫爾斯理論在複流形中的類似理論是皮卡第–萊夫謝茨理論

基本概念

 
鞍點

考慮山地地表表面M(或流形)。若函數f 給出當點海拔,則 中一點的原像就是一條等高線(或水平集)。等高線的連通組分或者是點,或者是簡單閉合曲線,或者是有二重點的閉合曲線。等高線也可能有更高階的點(三重點等等),但不穩定,可能因地形的輕微變化而消失。等高線中的二重點出現在鞍點或通路。

 
鞍點附近的等高線

想象用水淹沒等高線下的地形。水位達到a時,水下的表面是 ,海拔不高於a的點。想象一下隨着水位上升,這個面的拓撲結構將如何變化。除了當a經過臨界點的海拔時,f梯度都為0(更一般地,作為切空間之間線性映射雅可比矩陣不具有最大)。也就是說,除非(1)水流注入盆地,(2)覆蓋鞍點(山道),或(3)淹沒山頂,否則 的拓撲不變。

 
環面

盆地、山路、山頂(即最小點、鞍點、最大點)這三類臨界點,一般與指標(index)有關,即f從該點遞減的獨立方向數。或者說,f的非退化臨界點p的指標是Mp切空間的最大子空間的維度,其中f黑塞矩陣是負定的。盆地、山路、山頂的指標分別是 

考慮更一般的面,令M是方向如圖所示的環面f還是點到平面的距離。可以再次分析水下面 的拓撲結構如何隨水位a上升而變化。

 
 時,由 形成的圓柱體(右上)與附着於圓盤的1-胞腔(左下)同倫等價。
 
 時,由 形成的去圓盤環面(右上)與附着於圓柱的1-胞腔(左下)同倫等價。

從環面底部開始,令 分別是指標為 的臨界點,對應最小值、兩個鞍點、最大值。 時, 是空集;a經過p的海拔之後有 ,則 圓盤,它同倫等價於「附着」到空集的一個點(0-胞腔)。接着,a越過q的海拔時有 ,則 是圓柱,同倫等價於附着了1-胞腔的圓盤(左圖)。a越過r的海拔時有 ,則 是去圓盤的環面,同倫等價於附着了1-胞腔的圓柱(右圖)。最後,a高於s的海拔後, 便是環面了,即去掉一個圓盤(2-胞腔)並重新附着的環面。

這說明了以下規則:除非a越過臨界點,否則 的拓撲不變;遇到臨界點時,一個 -胞腔會被附着到 ,其中 是點的指標。這沒有說明兩個臨界點位於同一高度時會發生什麼,可以通過擾動f來解決。若是嵌入歐氏空間的景觀或流形,這種擾動可能只是稍微傾斜、旋轉坐標系。

必須注意不能使臨界點退化。設想退化會造成什麼問題:令  。則0是f的一個臨界點,但a經過0時 的拓撲並不改變。這是因為f在0的二階導 ,也就是f黑塞矩陣為0,臨界點退化。這種情形是不穩定的,因為將f擾動為 ,則退化的臨界點或者被移除( )或者分解為兩個非退化臨界點( )。

形式發展

對於微分流形M上的實值光滑函數 f微分為0的點稱作f臨界點,在f下的像稱作臨界值。若臨界點p處,二階偏導數矩陣(黑塞矩陣)非奇異,則p稱作非退化臨界點;若黑塞矩陣是奇異的,則p稱作退化臨界點

函數    時,原點是f的一個臨界點。若 ,則此臨界點是非退化的(即f具有形式 );若 ,則此臨界點是退化的(即f具有形式 )。退化臨界點的一個不太平凡的例子是猴鞍面的原點。

f的非退化臨界點p指標(index)是Mp處的切空間中黑塞矩陣為負定陣的最大子空間的維數。這與指標是f遞減的方向個數的概念直觀對應。臨界點的退化性和指標同所用的局部坐標系無關,如西爾維斯特慣性定理所示。

莫爾斯引理

p 的非退化臨界點。則,在p鄰域U中存在 ,使得 且在整個U  其中 等於fp處的指標。作為莫爾斯引理的推論,可以看到非退化臨界點是孤點(關於複數域的擴張,可見復莫爾斯引理。關於推廣,見莫爾斯–帕萊引理)。

基本定理

流形M上的光滑實值函數若無退化臨界點,則稱作莫爾斯函數。莫爾斯理論的基本結果表明,幾乎所有函數都是莫爾斯函數。技術上,莫爾斯函數形成了 拓撲中所有光滑函數 的一個開稠密子集,這有時表述為「典型的函數是莫爾斯的」或「通有的函數是莫爾斯的」。

如上述,我們感興趣的是 的拓撲何時會隨着a的變化而變化。下面的定理給出了這個問題的一半答案。

定理.fM上的光滑實值函數, ,且 的,且ab間無臨界值。則 微分同胚  形變收縮 上。

我們還有興趣知道,a經過臨界點時 的拓撲會怎樣變化。下面的定理回答了這個問題。

定理.fM上的光滑實值函數,p是指標為 f的非退化臨界點, 。設 是緊的,且除了q以外不包含臨界點。則 同倫等價 ,並附加了一個 -胞腔。

這些結果是對上一節所述「規則」的推廣與形式化。

用前面兩個結果以及微分流形上存在莫爾斯函數的事實,可以證明微分流形是CW復形,指標為n的臨界點都附加了n-胞腔。可在臨界水平面上安排一個臨界點來證明,通常通過類梯度向量場重排臨界點來實現。

莫爾斯不等式

莫爾斯理論可用於證明流形同調的一些有力結果。函數 的指標為 的臨界點數量等於「爬升」f得到的M上CW結構中 -胞腔的數量。利用拓撲空間同調群的秩的交替和等於鏈群(計算同調用)的秩的交替和,用胞腔鏈群(見胞腔同調),很明顯歐拉示性數 等於   其中 是指標為 的臨界點數量。同樣根據胞腔同調,CW復形M的第n同調群的秩不大於Mn-胞腔的數量。於是,第 同調群的秩、即貝蒂數 不大於M上莫爾斯函數的指標為 的臨界點數量。強化這些事實可得到莫爾斯不等式 

特別地   都有  

這給出了研究流形拓撲的有力工具。假設在閉流形上存在莫爾斯函數 ,恰有k個臨界點,則f的存在以何種方式限制了M?Georges Reeb (1952)研究了 情形,里布球面定理指出,M同胚於球面  情形只可能出現於少數低維情形,M同胚於伊爾斯–柯伊伯流形愛德華·威滕 (1982)考慮擾動算子 德拉姆復形,提出了莫爾斯不等式的解析方法。[1][2]

用於閉2-流形的分類

莫爾斯理論可用於對閉2-流形在微分同胚意義上進行分類。若M有向,則M依其虧格g分類,且與具有g柄的球面微分同胚:若 ,則M微分同胚於2-球面;若 ,則M微分同胚於g 2-環面的連通和。若N無向,則M依正數g分類,微分同胚於g實射影空間 的連通和。特別地,當且僅當兩閉2-流形微分同胚時,它們同胚。[3][4]

莫爾斯同調

莫爾斯同調是理解光滑流形同調一種很簡單的方法。莫爾斯同調使用莫爾斯函數和黎曼度量的一般選擇來定義,基本定理是:所得的同調是流形的不變量(即與函數和度量無關),同構於流形的奇異同調;這意味着莫爾斯和奇異貝蒂數一致,並給出了莫爾斯不等式的直接證明。莫爾斯同調在辛幾何中的類似物是弗洛爾同調

莫爾斯–博特理論

莫爾斯函數的概念可以推廣到以非退化流形作為臨界點的函數。莫爾斯–博特函數是流形上的光滑函數,其臨界集是閉子流形,它的黑塞矩陣在法向上非退化(等價地,臨界點處的黑塞矩陣核等於對臨界子流形的切空間)。莫爾斯函數是臨界流形為0維時的特例(於是臨界點處的黑塞矩陣在每個方向上非退化,即無核)。

指標可被自然地認為是一對   其中 是不穩定流形在臨界流形給定點上的維度, 臨界流形維度。若莫爾斯–博特函數在臨界軌跡(locus)上被小函數擾動,則在未擾動函數的臨界流形上,擾動函數所有臨界點的指標將介於  之間。

莫爾斯–博特函數非常有用,因為一般的摩爾斯函數不易處理。能直觀看到、可輕鬆計算的函數通常具有對稱性。拉烏爾·博特在最初證明博特周期性定理時使用了莫爾斯–博特理論。

圓形函數是莫爾斯–博特函數的例子,其中臨界集是圓(的不交並)。

莫爾斯同調也可用於莫爾斯–博特函數;莫爾斯–博特同調中的微分是由譜序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫爾斯–博特版本的辛場論時勾勒出一種方法,但由於分析上的巨大困難,這項工作從未發表。

另見

參考文獻

  1. ^ Witten, Edward. Supersymmetry and Morse theory. J. Differential Geom. 1982, 17 (4): 661–692. doi:10.4310/jdg/1214437492 . 
  2. ^ Roe, John. Elliptic Operators, Topology and Asymptotic Method. Pitman Research Notes in Mathematics Series 395 2nd. Longman. 1998. ISBN 0582325021. 
  3. ^ Gauld, David B. Differential Topology: an Introduction . Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 72. Marcel Dekker. 1982. ISBN 0824717090. 
  4. ^ Shastri, Anant R. Elements of Differential Topology. CRC Press. 2011. ISBN 9781439831601. 

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