實質條件
在命題演算,或在數學的邏輯演算中,實質條件、實質蘊涵或蘊涵算子是一種二元的真值泛函的邏輯運算符,它有着如下形式:
- 若A,則B。
這裡的A和B是陳述變量(可以被語言中任何有意義的可表示的句子所替代)。在這種形式的陳述中,第一項這裡的A,叫做前件;第二項這裡的B,叫做後件。
這個算子使用右箭頭「→」(有時用符號「⇒」或「⊃」)來符號化,其語義僅爲「如果A為真,那麼B亦為真」。它的常見寫法見下:
須注意的是,更常用於語意蘊含(等同符號)。這也是大多數初學者易搞混的點。
真值表
涉及實質蘊涵的真值表定義如下:
(符合了「如果A為真,那麼B必為真」) F F T F T T T F F T T T
由此可見, 等價於 。
形式性質
實質條件不要混淆於蘊涵關係 。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立:
- 如果 則 對於某些 。(這是演繹定理的特定形式。)
- 上述的逆命題
但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中,也不成立於相干邏輯中。
實質蘊涵的其他性質:
- 左分配律:
- 傳遞律:(
- 冪等律:
- 真理保持:在其下所有變量被指派為真值『真』的釋義生成真值『真』作為實質蘊涵的結果。
- 前交換律:(
對自然語言的符號表示
在介紹邏輯的課本中經常包括的常見的練習是符號表示。這些練習給學生自然語言的一個句子或一段文本,學生必須把它們轉換成符號語言。這是通過識別普通語言的等價的邏輯術語而完成的,這通常包括實質條件、析取、合取、否定和(經常的)雙條件。更高級的邏輯書籍和介紹性讀物的後續章節經常增加等號、存在量詞和全稱量詞。
用來識別實質條件的、在普通語言中的一些短語包括,「如果/當」、「僅當」、「假定」、「假如」、「假設」、「蘊涵」、「即使」和「萬一」。很多這些短語指示前件,另一些指示後件。正確識別「蘊涵方向」是重要的。比如,「A僅當B」被如下陳述捕獲
A → B
而「A當B」被如下陳述正確捕獲
B → A
蘊涵算符的中文意思包括「那麼」「則」「是因為」「如果……就……」。
中文 | 數學表達式 |
---|---|
如果天下雨,我就帶傘 | 天下雨→我帶傘 |
學生只有喜歡數學,才會學好物理 學生因為喜歡數學,物理才學得好 |
喜歡數學→物理學得好 |
如果老婆說對,我就要聽 | 老婆說對→我就聽 |
同其他條件陳述的比較
使用這個算子是邏輯學家規定的,作為結果,它產生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯為假設的,任何實質條件的整句陳述結果都是真值成立的。所以陳述句如「假設 是奇數,則蘊涵了 是偶數」這樣違反自然語言直覺的推理蘊涵是真的。類似的,後件為真的任何實質條件陳述都是真的。所以陳述「若天空的顏色是綠色,則巴黎是在法國」是真的。
這些有爭議的真值推理陳述句出現,是因為自然口語的人經常易受誘惑,而把實質條件和直陳條件或其他條件陳述如反事實條件,混淆在一起了。通過不把條件陳述讀做「如果」和「則/那麼」可以減輕這種誘惑。最常見的方式是把 A → B讀做「要麼不是情況 要麼是情況 (或二者)」,或更簡單的「 為假 或 為真(或二者)」。(當 為假,此式即已被淺薄的(trivial)滿足。這種陳述等價的自然口語方式,即是使用否定和析取(或)的邏輯符號 而獲得的。)
引用
- Brown, Frank Markham(2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
- Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
- Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).
- Quine, W.V.(1982), Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
- Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5(1975): 269–286.