等差-等比數列

數學上,等差-等比數列(簡稱差比數列,英語:arithmetico-geometric sequence)是一個等差數列與一個等比數列相乘的積。

通項公式

等差-等比數列有如下通項公式:[1]

 

其中 公比,而 的係數:

 

則是等差數列的項,其首項為 ,公差 

等差-等比數列的求和公式

等差-等比級數有如下形式;

 

其前n項之和為;

 

錯位相減法

由此級數開始:[1][2]

 

Sn乘以r

 

Sn減去rSn

 

在中間的項中使用等比數列的求和公式。最後左右兩邊同除以(1 − r),得到最終結果。

逐項求導

 

對等比數列和兩邊求導:[3]

 
 

裂項法

待定係數s,t使得等差-等比數列可以裂項:[4]

 

裂項法可以求出數列和:

 

求出待定係數s,t關於a,d,r的表達式:

 
 
 

差分算子公式

 [5]
其中 

求出各階差分 

 
 

無窮級數

如果 ,那麼其無窮級數為[1]

 

如果 在上述範圍之外,則該級數不是發散級數就是交錯級數

參見

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering 3rd. Cambridge University Press. 2010: 118. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  2. ^ 江鳳蓮. 利用“错位相减法”解数列问题. 龍巖師專學報. 2001, (S1) [2016-05-18]. (原始內容存檔於2020-01-15). 
  3. ^ 李曰瑋 劉瑞樓. 一类特殊多项式的求和问题. 高等數學研究. 2012, (1) [2016-05-18]. (原始內容存檔於2020-01-15). 
  4. ^ 鄭良. 差比型数列前n项和的求解方法——裂项法. 中學生數學. 2012, (3) [2016-05-18]. (原始內容存檔於2020-01-15). 
  5. ^ 黃嘉威. 方幂和及其推广和式. 數學學習與研究. 2016, (7) [2016-05-18]. (原始內容存檔於2020-01-15).