極限點

極限點（英語：Limit point）在數學中是指可以被集合S中的點^{[註 1]}隨意逼近的點。^{[註 2]}

這個概念有益的推廣了極限的概念，並且是諸如閉集和拓撲閉包等概念的基礎。實際上，一個集合是閉合的若且唯若他包含所有它的極限點，而拓撲閉包運算可以被認為是通過增加它的極限點來擴充一個集合。^{[註 3]}

定義

$A$ 為拓撲空間 $X$ （其拓撲為 $\tau \subseteq P(X)$ ）的子集且 $x\in X$ ，若所有 $x$ 的開集也包含至少一個 $A$ 內的非x的點，即

(\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}

稱 $x$ 為 $A$ 的極限點（注意到 $x$ 不一定屬於 $A$ ）。由 $A$ 內所有極限點所組成的集合稱為 $A$ 的導集，標記為 $A^{\prime }$ 。

在T₁空間裏，上述定義和要求 $x$ 的每個鄰域皆包含無限多個 $A$ 的點是等價的。^{[註 4]}

另外，若X為序列空間，則可稱x ∈ X為S的極限點，若且唯若存在一個由S \ {x}的點組成的ω序列，其極限為x；這也是「極限點」此一名稱的由來。

如果包含x的所有開集都包含無限多個S的點，則x是特殊類型極限點，稱為S的ω‐會聚點（ω‐accumulation point）。

如果包含 $x$ 的所有開集都包含不可數多個 $S$ 的點，則 $x$ 是特殊類型的極限點，稱為 $S$ 的縮合點（condensation point）。

在度量空間中，ω‐會聚點與普通的極限點定義等價。在拓撲空間中，兩者概念不再等價。對於非強拓撲空間，一個所有ω‐會聚點都屬於本身的集合不一定是閉集，但一個所有極限點都屬於本身（導集包含於自身）的集合必爲閉集。

在帶有度量函數 $d$ 的度量空間 $X$ 且有 $A\subseteq X$ 和 $x\in X$ ，若對所有 $\epsilon >0$ ，存在 $a\in A$ 值使得 $0<d(x,\,a)<\epsilon$ ，也就是

(\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]

這樣稱 $x$ 是 $A$ 的聚集點（cluster point）或會聚點（accumulation point）。直觀上意為， $x$ 可以被 $A$ 裏的點（以度量 $d$ 的意義上）無限制地逼近。

應用上， $a$ 為定義域的聚集點也是函數極限能在 $a$ 上有定義的前提條件。

關於極限點的性質： $x$ 是 $S$ 的極限點，若且唯若它屬於 $S$ \ { $x$ }的閉包。
- 證明：根據閉包定義，某點屬於某集合的閉包，若且唯若該點的所有鄰域都和該集合相交。則有：x是 $S$ 的極限點，若且唯若所有 $x$ 的鄰域都包含一個非 $x$ 的點屬於S，若且唯若所有 $x$ 的鄰域含有一個點屬於 $S$ \ {x}，若且唯若 $x$ 屬於 $S\ {''x''}$ 的閉包。

$S$ 的閉包具有下列性質： $S$ 的閉包等於 $S$ 和其導集的併集。
- 證明：（從左到右）設 $x$ 屬於 $S$ 的閉包。若 $x$ 屬於S，命題成立。若 $x\notin S$ ，則所有 $x$ 的鄰域都含有一個非 $x$ 的點屬於 $S$ ；也就是說，x是 $S$ 的極限點， $x\in S'$ 。（從右到左）設 $x$ 屬於S，則明顯地所有 $x$ 的鄰域和 $S$ 相交，所以 $x$ 屬於 $S$ 的閉包。若 $x$ 屬於L(S)，則所有 $x$ 的鄰域都含有一個非 $x$ 的點屬於S，所以 $x$ 也屬於 $S$ 的閉包。得證。

上述結論的推論給出了閉集的性質：集合 $S$ 是閉集，若且唯若它含有所有它的極限點。
- 證明1：S是閉集，若且唯若 $S$ 等於其閉包，若且唯若 $S$ = $S$ ∪ L(S)，若且唯若L(S)包含於S。
- 證明2：設 $S$ 是閉集， $x$ 是 $S$ 的極限點。則 $x$ 必須屬於S，否則 $S$ 的補集為 $x$ 的開鄰域，和 $S$ 不相交。相反，設 $S$ 包含所有它的極限點，需要證明 $S$ 的補集是開集。設 $x$ 屬於 $S$ 的補集。根據假設，x不是極限點，則存在 $x$ 的開鄰域U和 $S$ 不相交，則U在 $S$ 的補集中，則 $S$ 的補集是開集。

空間 $x$ 是離散空間，若且唯若 $x$ 的子集都沒有極限點。
- 證明：若 $x$ 是離散空間，則所有點都是孤點，不能是任何集合的極限點。相反，若 $x$ 不是離散空間，則單元素集合{x}不是開集。那麼，所有{x}的鄰域都含有點y ≠ x，則 $x$ 是 $x$ 的極限點。

若空間 $x$ 有密着拓撲，且 $S$ 是 $x$ 的多於一個元素的子集，則 $x$ 的所有元素都是 $S$ 的極限點。若 $S$ 是單元素集合，則所有 $x$ \ $S$ 的點仍然是 $S$ 的極限點。
- 說明：只要 $S$ \ {x}非空，它的閉包就是X；只有當 $S$ 是空集或 $x$ 是 $S$ 的唯一元素時，它的閉包才是空集。