柯爾莫果洛夫空間

拓撲學和相關的數學分支中,T0空間,又稱柯爾莫哥洛夫空間(英語:T0 space 或 Kolmogorov space),以數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫命名,定義了一類廣泛地表現良好的拓撲空間。T0 條件是分離公理之一。

定義

拓樸空間 T0空間若且唯若對所有相異的 且,存在開集合 使得  [1]

T0 空間中所有相異點對都是拓撲可區分的。也就是說,對於任何兩個相異的點  ,存在一個正好只包含兩點之一的開集

注意拓撲可區分的點都是相異的。另一方面,如果單元素集合  分離的,則點  必為拓撲可區分的。也就是說:

  「分離」  「拓撲可區分」 

拓撲可區分的條件一般強於相異的條件,但要弱於可分離的條件。

T0 空間中,第二個箭頭可以反轉:兩點相異若且唯若它們是拓樸可區分的。

例子和反例

在數學中經常研究的幾乎所有拓撲都是 T0 的。例如所有豪斯多夫空間T1 空間都是 T0 的。

非 T0 空間

  • 在帶有密着拓撲的多元素集合中,沒有點是拓撲可區分的。
  • 特定拓撲中的 集合。其中開集都是 的開集和 自身的笛卡爾乘積的形式( ),即 的平常拓撲和 的密着拓撲的乘積空間;該拓撲中,點  是不可區分的。(注意:  中的元素,而非 的開區間)
  • 實直線 複平面 可測函數 的空間,使得   在整個實直線上的勒貝格積分有限的。此空間中幾乎處處相等的兩個函數是不可區分的。

T0 但非 T1 空間

  • 交換環 R素環譜 Spec(R) 上的 Zariski拓撲總是 T0 但一般不是 T1。非閉合點對應於不是極大理想素理想。它們對於理解概形是重要的。
  • 在帶有至少兩個元素的任何集合上的特定點拓撲是 T0 但不是 T1,因為特定點不是閉合的(它的閉包是整個空間)。一種重要特殊情況是在集合 {0,1} 上的特定點拓撲的謝爾賓斯基空間
  • 在帶有至少兩個元素的任何集合上的排斥點拓撲是 T0 但不是 T1。唯一閉合點是排斥點。
  • 偏序集合上的Alexandrov拓撲是 T0 但不是 T1 除非這個次序是離散的(一致於相等性)。所有有限 T0 空間都是這種類型的。這還包括特定點和排斥點拓撲作為特殊情況。
  • 全序集合上的右序拓撲是有關的例子。
  • 重疊區間拓撲類似於特定點拓撲,因為所有開集都包括 0。
  • 非常一般的說,拓撲空間 X 是 T0 的,若且唯若在 X 上的特殊化預序偏序。但是,X 將是 T1 的,若且唯若這個次序是離散的(一致於相等性)。所以空間將是 T0 但不是 T1,若且唯若在 X 上的這個特殊化預序是非離散偏序。

操作 T0 空間

典型研究的拓撲空間的例子是 T0。實際上,當數學家在很多領域特別是數學分析中,偶爾遇到非T0 空間的時候,它們通過以如下方式把它替代為 T0 空間。為了激發涉及到的想法,考慮周知的例子。L2(R) 空間是從實直線 R複平面 C可測函數的空間,它使得 |f(x)|2 在整個實直線上的勒貝格積分有限的。這個空間應當通過定義範數 ||f|| 為這個積分的平方根來變成賦範向量空間。問題是這不是實際上的範數,只是半範數,因為有除了零函數之外有(半)範數為零的函數。標準解決是定義 L2(R) 為函數的等價類集合而不是直接的函數集合。這種構造了最初半賦範向量空間的商空間,而這個商是賦範向量空間。它從半賦範空間繼承了一些方便的性質。

一般的說,在處理集合 X 上一個固定拓撲 T 的時候,如果這個拓撲是 T0 將是有幫助的。換句話說,在 X 是固定而 T 允許在特定邊界內變化的時候,強迫 T 是 T0 將是不方便的,因為非 T0 拓撲經常是重要的特殊情況。因此,區分可以放置在拓撲空間上的各種條件的 T0 和非 T0 版本二者是重要的。

柯爾莫哥洛夫商空間

點與點之間的拓撲不可區分性是一種等價關係。對任意拓撲空間 ,通過考慮此等價關係給出的商空間總是T0空間。這個商空間叫做 柯爾莫果洛夫商空間,寫作KQ( )。如果 本身已經是T0空間,則 KQ( )和 自然同胚

絕對的說,柯爾莫果洛夫空間是拓撲空間的反射子範疇,而柯爾莫果洛夫商是反射子。

拓撲空間  的柯爾莫果洛夫商同胚時,  被稱為柯爾莫果洛夫等價的。這種等價性保留很多拓撲空間的性質(如連通性,緊緻性);就是說,如果  柯爾莫果洛夫等價,則 有某種性質若且唯若 也有。

另一方面,許多拓撲空間的性質蘊涵了 T0 性;就是說如果 有這種性質,則 必定是 T0的。只有很少性質比如「 不可分空間」,是這個經驗規則的例外(此條件不蘊涵 T0 性)。

更為理想地,在拓撲空間上定義的很多結構都可在 和 KQ( ) 之間轉移。結果就是如果你有帶有特定結構或性質的非 T0 拓撲空間,則你通常可通過選取柯爾莫果洛夫商來形成帶有相同結構或性質的 T0 空間。

L2(R) 的例子展示了這些特徵。從拓撲學的角度,這個半賦範向量空間有很多額外的結構;例如,它是向量空間,並有半範數,並且這些定義了相容於這個拓撲的偽度量一致結構。還有,這些結構有很多性質;例如半範數滿足平行四邊形恆等式而一致結構是完備的。這個空間不是 T0 的因為幾乎處處相等的任何兩個 L2(R) 的函數關於這個拓撲是不可區分的。當我們形成柯爾莫果洛夫商的時候,實際的 L2(R) 保持了這些結構和性質。因此,L2(R) 也是滿足平行四邊形恆等式的完備半賦范向量空間。但是我們實際上得到的要多了一點,因為這個空間現在是 T0 的。半範數是範數,若且唯若底層拓撲是 T0,所以 L2(R) 實際上是滿足平行四邊形恆等式的完備賦范向量空間 — 也叫做希爾伯特空間。它是數學家(和研究量子力學物理學家)一般都研究的希爾伯特空間。注意符號 L2(R) 通常指示柯爾莫果洛夫商,在測度零的集合上有所不同的平方可積函數的等價類的集合,而非符號所暗示的簡單的是平方可積函數的向量空間。

去除 T0

你可能注意到了,儘管範數歷史上定義在先,人們也提出了半範數的定義,它是範數的一種非 T0 版本。一般的說,可以定義拓撲空間的性質和結構二者的非 T0 版本。首先,考慮拓撲空間的一個性質,比如是豪斯多夫的性質。你可以定義另一個拓撲空間性質,通過定義空間 X 為滿足這個性質,若且唯若柯爾莫果洛夫商 KQ(X) 是豪斯多夫的。這是一個明智的不太著名的性質,這種空間 X 被為預正則的。(甚至有預正則性的更直接的定義)。現在考慮可以放置到拓撲空間上一個結構,比如度量。我們可以通過設置在 X 上的結構簡單的是在 KQ(X) 上的度量來定義一個新結構。有這種在 X 上的明智的結構,它就是偽度量。(偽度量也有更直接的定義)。

在這種方式下,有從性質或結構的要求中去除 T0 性的自然方式。研究 T0 的空間一般要容易些,但讓非 T0 的結構得到漂洗後的對應者也是容易的。使用柯爾莫果洛夫商的概念可以任意的增加或去除 T0 要求。


參考來源

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). T0-Space. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2017-10-04]. (原始內容存檔於2020-06-28) (英語). 


外部連結