測度

對一個給定集合的某些子集指定一個數的函數

數學中,測度是一種將幾何空間度量長度面積體積)和其他常見概念(如大小質量事件概率廣義化後產生的概念。傳統的黎曼積分是在區間上進行的,為了把積分推廣到更一般的集合上,人們就發展出測度的概念。一個特別重要的例子是勒貝格測度,它從 維歐式空間 出發,概括了傳統長度、面積和體積等等的概念。

測度具有單調性,如果集合A是集合B的子集,那麼集合A的測度小於或等於集合B的測度。此外空集的測度為0。例如體積(物體所佔據的空間的大小)就是一種測度。

研究測度的學問被統稱為測度論,因為指定的數值通常是非負實數,所以測度論通常會被視為實分析的一個分支,它在數學分析概率論有重要的地位。

正式定義

定義 —  可測空間函數   若滿足:

  •   (空集合的測度為零)
  • 可數可加性(  -可加性): 若集合序列   對所有不相等正整數   都有  ,則
 

  被稱為定義在   上的一個非負測度,或簡稱為測度。為了敘述簡便起見,也可稱   為一測度空間

直觀上,測度是「體積」的推廣;因為空集合的「體積」當然為零,而且互相獨立的一群(可數個)物體,總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總(的極限)。而要定義「體積」,必須先要決定怎樣的一群子集合,是「可以測量的」,詳細請見σ-代數

如果將   的值域擴展到複數,也就是說   ,那   會被進一步稱為複數測度[1]

定義的分歧

若照着上述定義,根據可數可加性,不少母集合本身的測度值會變成無窮大(如對   本身取勒貝格測度),所以實際上不存在。但某些書籍[2]會形式上將無窮大視為一個數,而容許測度取值為無窮大;這樣定義的書籍,會把只容許有限實數值的測度稱為(非負)有限測度。但這樣"定義",會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。

所以要延續體積是一種"度量"的這種直觀概念(也就是嚴謹的定義勒貝格測度),那就必須把σ-代數換成條件比較寬鬆的半集合環英語Semiring#Semiring_of_sets,然後以此為基礎去定義一個對應到"體積"的前測度英語Pre-measure

更進一步的,如果對測度空間   來說,母集合   可表示為   內的某可測集合序列  併集

 

  只容許取有限值,則   會被進一步的稱為(非負)σ-有限測度

性質

單調性

測度 單調性: 若  為可測集,而且 ,則 

可數個可測集的併集的測度

 為可測集(不必是兩兩不交的),則集合 的併集是可測的,且有如下不等式(「次可列可加性」):

 

如果還滿足並且對於所有的   ,則如下極限式成立:

 

可數個可測集的交集的測度

 為可測集,並且對於所有的   ,則 交集是可測的。進一步說,如果至少一個 的測度有限,則有極限:

 

如若不假設至少一個 的測度有限,則上述性質一般不成立。例如對於每一個 ,令

 

這裏,全部集合都具有無限測度,但它們的交集是空集。

完備性

定義 — 
 測度空間,若  ,則   被稱為零測集(null set )。

若所有零測集的子集都可測,則   稱為完備的(complete)。

直觀上,因為測度的單調性,只要包含於零測集的集合,也「應該」是零測集,完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的,任意測度可以按如下的定理擴展為完備測度:[3]

定理 — 
 測度空間,若取:

 

  是一個Σ-代數,此時若定義:

 

  是定義在   上的完備測度,且有:

 
證明

例子

下列是一些測度的例子(順序與重要性無關)。

  • 計數測度 定義為 的「元素個數」。
  • 一維勒貝格測度是定義在 的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足 的唯一測度。
  • Circular angle測度旋轉不變的。
  • 局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣,而且也有類似的刻劃。
  • 恆零測度定義為 ,對任意的 
  • 每一個概率空間都有一個測度,它對全空間取值為1(於是其值全部落到單位區間[0,1]中)。這就是所謂概率測度。見概率論公理

其它例子,包括:狄拉克測度波萊爾測度若爾當測度遍歷測度歐拉測度高斯測度貝爾測度拉東測度

相關條目

參考文獻

  1. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124. 
  2. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17. 
  3. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1974: 29-29. ISBN 0070542333. 
  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部連結