测度

對一個給定集合的某些子集指定一個數的函數

数学中,测度是一种将几何空间度量长度面积体积)和其他常见概念(如大小质量事件概率广义化后产生的概念。传统的黎曼积分是在区间上进行的,为了把积分推广到更一般的集合上,人们就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度,它从 维欧式空间 出发,概括了传统长度、面积和体积等等的概念。

测度具有单调性,如果集合A是集合B的子集,那么集合A的测度小于或等于集合B的测度。此外空集的测度为0。例如体积(物体所占据的空间的大小)就是一种测度。

研究测度的学问被统称为测度论,因为指定的数值通常是非负实数,所以测度论通常会被视为实分析的一个分支,它在数学分析概率论有重要的地位。

正式定义

定义 —  可测空间函数   若满足:

  •   (空集合的测度为零)
  • 可数可加性(  -可加性): 若集合序列   对所有不相等正整数   都有  ,则
 

  被称为定义在   上的一个非负测度,或简称为测度。为了叙述简便起见,也可称   为一测度空间

直观上,测度是“体积”的推广;因为空集合的“体积”当然为零,而且互相独立的一群(可数个)物体,总“体积”当然要是所有物体“体积”直接加总(的极限)。而要定义“体积”,必须先要决定怎样的一群子集合,是“可以测量的”,详细请见σ-代数

如果将   的值域扩展到复数,也就是说   ,那   会被进一步称为复数测度[1]

定义的分歧

若照着上述定义,根据可数可加性,不少母集合本身的测度值会变成无穷大(如对   本身取勒贝格测度),所以实际上不存在。但某些书籍[2]会形式上将无穷大视为一个数,而容许测度取值为无穷大;这样定义的书籍,会把只容许有限实数值的测度称为(非负)有限测度。但这样"定义",会造成可数可加性与数列收敛的定义产生矛盾。

所以要延续体积是一种"度量"的这种直观概念(也就是严谨的定义勒贝格测度),那就必须把σ-代数换成条件比较宽松的半集合环英语Semiring#Semiring_of_sets,然后以此为基础去定义一个对应到"体积"的前测度英语Pre-measure

更进一步的,如果对测度空间   来说,母集合   可表示为   内的某可测集合序列  并集

 

  只容许取有限值,则   会被进一步的称为(非负)σ-有限测度

性质

单调性

测度 单调性: 若  为可测集,而且 ,则 

可数个可测集的并集的测度

 为可测集(不必是两两不交的),则集合 的并集是可测的,且有如下不等式(“次可列可加性”):

 

如果还满足并且对于所有的   ,则如下极限式成立:

 

可数个可测集的交集的测度

 为可测集,并且对于所有的   ,则 交集是可测的。进一步说,如果至少一个 的测度有限,则有极限:

 

如若不假设至少一个 的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个 ,令

 

这里,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。

完备性

定义 — 
 测度空间,若  ,则   被称为零测集(null set )。

若所有零测集的子集都可测,则   称为完备的(complete)。

直观上,因为测度的单调性,只要包含于零测集的集合,也“应该”是零测集,完备测度的定义体现了这个直观的想法。更进一步的,任意测度可以按如下的定理扩展为完备测度:[3]

定理 — 
 测度空间,若取:

 

  是一个Σ-代数,此时若定义:

 

  是定义在   上的完备测度,且有:

 
证明

例子

下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。

  • 计数测度 定义为 的“元素个数”。
  • 一维勒贝格测度是定义在 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 的唯一测度。
  • Circular angle测度旋转不变的。
  • 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广,而且也有类似的刻划。
  • 恒零测度定义为 ,对任意的 
  • 每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度。见概率论公理

其它例子,包括:狄拉克测度波莱尔测度若尔当测度遍历测度欧拉测度高斯测度贝尔测度拉东测度

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参考文献

  1. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124. 
  2. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17. 
  3. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1974: 29-29. ISBN 0070542333. 
  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接