誤差函數

乙狀結構特殊函數,發生在概率,統計和偏微分方程中

數學中,誤差函數[註 1](英語:Error function)是一個特殊函數[註 2],符號。誤差函數在概率論統計學以及偏微分方程中都有廣泛的應用。它的定義如下:[1][2]

誤差函數
互補誤差函數

分類

互補誤差函數,記為 erfc,在誤差函數的基礎上定義:

 

虛誤差函數,記為 erfi,定義為:

 

複誤差函數,記為w(z),也在誤差函數的基礎上定義:

 

詞源

誤差函數來自測度論,後來與測量誤差無關的其他領域也用到這一函數,但仍然使用誤差函數這一名字。

誤差函數與標準正態分佈的積分累積分佈函數 的關係為[2]

 

性質

複數平面上的圖
Integrand exp(−z2)
erf(z)

誤差函數是奇函數

 

對於任何 複數 z:

 

其中   表示 z複共軛

複數平面上,函數 ƒ = exp(−z2) 和 ƒ = erf(z) 如圖所示。粗綠線表示 Im(ƒ) = 0,粗紅線表示 Im(ƒ) < 0, 粗藍線為 Im(ƒ) > 0。細綠線表示 Im(ƒ) = constant,細紅線表示 Re(ƒ) = constant<0,細藍線表示 Re(ƒ) = constant>0。

在實軸上, z → ∞時,erf(z) 趨於1,z → −∞時,erf(z) 趨於−1 。在虛軸上, erf(z) 趨於 ±i∞。

泰勒級數

誤差函數是整函數,沒有奇異點(無窮遠處除外),泰勒展開收斂。

誤差函數泰勒級數:

 

對每個複數 z均成立。 上式可以用迭代形式表示:

 

誤差函數的導數

 

誤差函數的 不定積分為:

 

逆函數

 
逆誤差函數

逆誤差函數 可由 麥克勞林級數表示:

 

其中, c0 = 1 ,

 

即:

 

逆互補誤差函數定義為:

 

漸近展開

互補誤差函數的漸近展開


 

其中 (2n – 1)!! 為 雙階乘x為實數,該級數對有限 x發散。對於  ,有

 

其中餘項用以 大O符號表示為

  as  .

餘項的精確形式為:

 

對於比較大的 x, 只需漸近展開中開始的幾項就可以得到 erfc(x)很好的近似值。[註 3]

連分式展開

互補誤差函數的連分式展開形式:[3]

 

初等函數近似表達式

     (最大誤差: 5·10−4)

其中, a1 = 0.278393, a2 = 0.230389, a3 = 0.000972, a4 = 0.078108

     (最大誤差:2.5·10−5)

其中, p = 0.47047, a1 = 0.3480242, a2 = −0.0958798, a3 = 0.7478556

     (最大誤差: 3·10−7)

其中, a1 = 0.0705230784, a2 = 0.0422820123, a3 = 0.0092705272, a4 = 0.0001520143, a5 = 0.0002765672, a6 = 0.0000430638

     (最大誤差: 1.5·10−7)

其中, p = 0.3275911, a1 = 0.254829592, a2 = −0.284496736, a3 = 1.421413741, a4 = −1.453152027, a5 = 1.061405429

以上所有近似式適用範圍是: x ≥ 0. 對於負的 x, 誤差函數是奇函數這一性質得到誤差函數的值, erf(x) = −erf(−x).

另有近似式:

 

其中,

 

該近似式在0或無窮的鄰域非常準確,x整個定義域上,近似式最大誤差小於0.00035,取 a ≈ 0.147 ,最大誤差可減小到0.00012。[4]

逆誤差函數近似式:

 

數值近似

下式在整個定義域上,最大誤差可低至  [5]

 

其中,

 
 

與其他函數的關係

誤差函數本質上與標準正態累積分佈函數 是等價的,

 

可整理為如下形式:

 

 的逆函數為正態分位函數,即概率單位英語Probit函數,

 

誤差函數為標準正態分佈的尾概率Q函數英語Q-function的關係為,

 

誤差函數是米塔-列夫勒函數的特例,可以表示為合流超幾何函數

 

誤差函數用正則Γ函數P和 不完全Γ函數表示為

 

 符號函數.

廣義誤差函數

 
廣義誤差函數圖像 En(x):
灰線: E1(x) = (1 − e −x)/ 
紅線: E2(x) = erf(x)
綠線: E3(x)
藍線: E4(x)
金線: E5(x).

廣義誤差函數為:

 

其中,E0(x)為通過原點的直線,  E2(x) 即為誤差函數 erf(x)。

x > 0時,廣義誤差函數可以用Γ函數和 不完全Γ函數表示,

 

因此,誤差函數可以用不完全Γ函數表示為:

 

互補誤差函數的迭代積分

互補誤差函數的迭代積分定義為:

 

可以展開成冪級數:

 

滿足如下對稱性質:

 

 

函數表

註釋

  1. ^ 也稱之為高斯誤差函數
  2. ^ 即不是初等函數
  3. ^ 對於不太大的 x ,上文泰勒展開在0處可以快速收斂。

參見

參考文獻

  1. ^ Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  2. ^ 2.0 2.1 Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
  3. ^ Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer-Verlag. 2008. ISBN 978-1-4020-6948-2. 
  4. ^ Winitzki, Sergei. A handy approximation for the error function and its inverse (PDF). 6 February 2008 [2011-10-03]. [永久失效連結]
  5. ^ Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 978-0-521-43064-7), 1992, page 214, Cambridge University Press.

外部連結