卡西米爾不變量

在李代數中心的特別元素

數學裏,卡西米爾不變量(又稱卡西米爾元卡希米爾算子)是李代數泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。

卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年,他確立了這個概念,以用在他對剛體動力學的描述當中。[1]

定義

最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義,因此先在下文給出。然而,也有更高次的卡西米爾不變量,其對應高次的對稱齊次多項式,這些不變量在最後定義。

二次卡西米爾元

  為一個  半單李代數。設 B  上非奇異的二次型,並要求 B 伴隨作用下不變,即對   中的任意 X,Y,Z, 都有   (例如,可取 B基靈型。) 設

 

 ,以及

 

  關於 B 的對偶基,則 B卡西米爾不變量   是泛包絡代數   的元素

 

儘管上述定義取決於選取的基,可以證明所得的 Ω 與所選的基無關。另一方面,不同的二次型 B 可以給出不同的 Ω. B 的不變性,說明卡西米爾元與李代數   的任何元素都可交換,因此是泛包絡代數   的中心的元素。[2]

線性表示和光滑作用的卡西米爾元

給定   在向量空間 V 上的李代數表示英語Lie algebra representation ρ (允許無窮維),將 ρ(Ω) 稱為 ρ 的卡西米爾不變量,其為 V 上的線性算子,且由下式給出:

 

此處假定了 B 為基靈型,否則必須指明 B.

該構造的特定形式,在微分幾何大域分析英語Global Analysis中有重要作用。假設連通李群 G 的李代數   作用在微分流形 M 上,則在 M 的連續函數空間上,有 G 相應的表示 ρ.   的元素均由 M 上的一階微分算子表示,於是,上式給出 ρ 的卡西米爾元,其為 M 上的二階微分算子,且在 G 的作用下不變。

更進一步,若 M度量張量,使得 G 的元素作為 M 的保距變換,可遞地作用在 M 上,且一點的穩定子 Gx 不可約地作用在切空間 TxM 上,則 ρ 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。

也可定義更一般的卡西米爾不變量,其於弗雷德霍姆理論英語Fredholm theory研究偽微分算子時用到。

一般情況

每個卡西米爾算子,都對應伴隨表示對稱代數英語Symmetric algebra   的對稱齊次多項式。換言之,任何一個卡西米爾算子都具有下列形式:

 

其中 m 是對稱張量   的階,且   組成  。域 K上的多項式環   內,有 m 元對稱齊次多項式

 

與該卡西米爾算子對應。龐卡萊–伯克霍夫–維特定理英語Poincaré–Birkhoff–Witt theorem給出了泛包絡代數的顯式構造,由此可以證明上述的對應關係。

然而,並非每個對應張量(或對稱齊次多項式)都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換,即對每個基向量  , 都滿足

 .

考慮結構常數 fijk,其滿足

 

於是對於滿足上述條件的對稱多項式,可得

 

此為伊斯拉埃爾·蓋爾范德所得的結果。[3] 由該交換關係,可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換,從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此,李代數表示英語Lie algebra representation能以其卡西米爾元的特徵值來分類。

注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者,諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 r, 即其嘉當子代數的維數為 r, 則其恰有 r 個卡西米爾元。

性質

唯一性

一個單李代數中,每個不變二次型皆為基靈型的倍數,所以對應的卡西米爾元唯一(允許相差一個常數的意義下)。對於一般的半單李代數,考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和,因此該二次型空間中,對應每個單分量,恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中,也對應每個單分量,恰有一個基向量。

與 G 上拉普拉斯算子的關係

  為李群,且其李代數為  , 則   上的不變二次型對應   上的雙不變黎曼度量。並且,  泛包絡代數等同於   上的左不變微分算子空間。在此等同關係下,  上雙線性型的卡西米爾元,對應   關於雙不變度量的拉普拉斯-貝爾特拉米算子

推廣

卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數中心的特殊二次元素。換言之,卡西米爾算子是一個微分算子,其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏,每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而,中心內可以有其他(非二次)的元素。

拉卡定理[4]半單李代數的泛包絡代數中心的維數,等於該李代數的秩。在任意的半單李群(即其李代數為半單李代數)上,可以利用卡西米爾元,定義群上的拉普拉斯算子。然而,按照上述關於秩的結論,當秩大於 1 時,無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。

根據定義,泛包絡代數的中心內,任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒爾引理,任何既約表示英語Irreducible representation中,卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類(也就適用於李群表示的分類)。物理上,質量和自旋均屬該種常數,並且量子力學中許多量子數亦然。

例:

考慮三維歐幾里得空間旋轉群 SO(3). 其李代數   的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元   的平方和。換言之,卡西米爾元由等式

 

給出。 考慮   的一個不可約表示。記其中   的最大特徵值為  , 則   的可能取值為   卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 I 的倍數。該常數可以具體計算出,即:[5]

 

量子力學中,常數   稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示  總為整數或半整數(奇數的一半)。倘為整數,則該表示稱為玻色子表示(英語:bosonic representation),否則稱為費米子表示(英語:fermionic representation)。

給定  , 得到的矩陣表示是   維的。例如   的三維表示對應於  , 由下列的生成元給出:

 

其中照物理學常用的約定加入了   因子,使得諸生成元皆為自伴算子

由此,可以手算二次卡西米爾元,結果為

 

 時, , 故此例子與前段的一般結果一致。類似地,二維的表示以泡利矩陣作基,對應物理上自旋為 1/2 的粒子。

特徵值

由於卡西米爾元   在泛包絡代數的中心內,其在一個單模(該代數的直和分解的一個分量)上的作用是乘上一個常數。設    定義採用的對稱非退化二次型。記   為具有最高權   的元素組成的有限維模(稱為該表示的最高權模)。則卡西米爾元    的作用為乘常數

 

其中   為所有正根之和之半。[6]

  非平凡(即  ), 則上述常數非零。原因是,由於   是優控的(英語:dominant, 即與任意正根的內積皆非負),若  ,則  , 且  , 故  . 此結果適用於魏爾完全可約性定理英語Weyl's theorem on complete reducibility的證明。亦可不使用上述公式,而採用更抽象的嘉當判別法英語Cartan's criterion證明該常數非零。[7]

參見

參考文獻

  1. ^ Oliver, David. The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world. Springer. 2004: 81. ISBN 978-0-387-40307-6. 
  2. ^ Hall 2015 Proposition 10.5
  3. ^ Xavier Bekaert, "Universal enveloping algebras and some applications in physics頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)" (2005) Lecture, Modave Summer School in Mathematical Physics.
  4. ^ Racah, Giulio. Group theory and spectroscopy. Springer Berlin Heidelberg. 1965. 
  5. ^ Hall 2013 Proposition 17.8
  6. ^ Hall 2015 Proposition 10.6
  7. ^ Humphreys 1978 Sections 4.3 and 6.2

延伸閱讀