簡單函數

簡單函數(英語:simple function)又稱單純函數,是實分析中只取有限個實值的可測函數

定義

集合   上有Σ-代數   ,若對函數   ,存在   ,使得:

 

其中   代表集合  指示函數,即:

 

  稱為簡單函數,也就是說,簡單函數是可測集合(即   的元素)的指示函數的有限線性組合

範例

  • 半開區間[1,9)上的取整函數,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
  • 實直線上的狄利克雷函數,如果x是有理數,則函數的值為1,否則為0。

性質

根據定義,兩個簡單函數的和、差與積,以及一個簡單函數與常數的積也是簡單函數,因此可推出所有簡單函數在複數域上形成了一個交換代數。

定理 — 集合   上有Σ-代數   ,任何非負,在  可測的   都會是某遞增且非負簡單函數序列的逐點極限。更進一步的,若  有界的,則此簡單函數序列是一致收斂 

證明

對每個正整數  ,把   分成  個區間,也就是取

  ,對於  

以及

 

然後定義可測集合

 ,對於  

則可對每個正整數   定義非負簡單函數   如下

 

也就構成了一個非負遞增簡單函數序列  

這樣的話,取任意   , 都存在正整數   使得

 

這樣的話,只要   的話,都會存在正整數   使得

 

所以有

 

再考慮到,對任意正實數   ,都存在正整數   使得

 

所以總結一下,對任意正實數  ,取正整數   ,就會有

 

所以簡單函數序列   的確會逐點收斂至  

注意到若   是有界的,那存在一個跟點   選取無關的正整數   使得

 

那這樣的話,對任意正實數  ,取正整數  ,就會得到一致收斂。 

簡單函數的積分

測度   定義在  Σ-代數   上,若簡單函數   可表達為

 

  於某個   上,對測度  勒貝格積分定義為:

 

參考文獻

  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.