Β函数,又称为贝塔函数第一类欧拉积分,是一个特殊函数,由下式定义:

一种B函数图像

其中

性质

Β函数具有以下对称性质:

 

当x,y是正整数的时候,我们可以从伽马函数定义得到如下式子:

 

它有许多其它的形式,包括:

 
 
 
 
 
 
 

其中 伽玛函数

就像伽玛函数描述了阶乘一样,我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数

 

伽玛函数与贝塔函数之间的关系

为了推出两种函数之间的关系,我们把两个阶乘的乘积写为:

 

现在,设 ,  ,因此:

 

利用变量代换  ,可得:

 

因此,有:

 

导数

贝塔函数的导数是:

 

其中 双伽玛函数

估计

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式:

 

不完全贝塔函数

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广,把贝塔函数中的定积分不定积分来代替,就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为:

 

x = 1,上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数(或简称正则贝塔函数)由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义:

 

ab是整数时,计算以上的积分(可以用分部积分法),可得:

 

正则不完全贝塔函数是Β分布累积分布函数,可由二项式分布描述一个实随机变量X的几率分布:

 

其中p为试验成功几率,n为样本数。

性质

 
 
 

参见

参考文献

外部链接