Β函數 ，又稱為貝塔函數 或第一類歐拉積分 ，是一個特殊函數 ，由下式定義：
一種B函數圖像
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\!}
其中
Re
(
x
)
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,}
性質
Β函數具有以下對稱 性質：
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}
當x,y是正整數的時候，我們可以從伽馬函數定義得到如下式子：
B
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1
)
!
(
y
−
1
)
!
(
x
+
y
−
1
)
!
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!}
它有許多其它的形式，包括：
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}
B
(
x
,
y
)
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}
B
(
x
,
y
)
=
1
y
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
y
n
+
1
n
!
(
x
+
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}\!}
其中
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
伽瑪函數 。
就像伽瑪函數描述了階乘 一樣，我們也可以用貝塔函數來定義二項式係數 ：
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}}
伽瑪函數與貝塔函數之間的關係
為了推出兩種函數之間的關係，我們把兩個階乘的乘積寫為：
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
∫
0
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v.\!}
現在，設
u
=
a
2
{\displaystyle u=a^{2}}
v
=
b
2
{\displaystyle v=b^{2}}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
4
∫
0
∞
e
−
a
2
a
2
x
−
1
d
a
∫
0
∞
e
−
b
2
b
2
y
−
1
d
b
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
−
(
a
2
+
b
2
)
|
a
|
2
x
−
1
|
b
|
2
y
−
1
d
a
d
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,\mathrm {d} b\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}\!}
利用變量代換
a
=
r
cos
θ
{\displaystyle a=r\cos \theta }
b
=
r
sin
θ
{\displaystyle b=r\sin \theta }
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
e
−
r
2
|
r
cos
θ
|
2
x
−
1
|
r
sin
θ
|
2
y
−
1
r
d
r
d
θ
=
∫
0
∞
e
−
r
2
r
2
x
+
2
y
−
2
r
d
r
∫
0
2
π
|
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
|
d
θ
=
1
2
∫
0
∞
e
−
r
2
r
2
(
x
+
y
−
1
)
d
(
r
2
)
4
∫
0
π
2
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
d
θ
=
Γ
(
x
+
y
)
2
∫
0
π
2
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
d
θ
=
Γ
(
x
+
y
)
B
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\frac {1}{2}}{\color {red}{\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})}}\,4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\color {red}{\Gamma (x+y)}}\,2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}
因此，有：
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
導數
貝塔函數的導數是：
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
其中
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
雙伽瑪函數 。
估計
斯特靈公式 給出了一個用來近似計算貝塔函數的公式：
B
(
x
,
y
)
≈
2
π
x
x
−
1
2
y
y
−
1
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
2
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\approx {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}.}
不完全貝塔函數
不完全貝塔函數 是貝塔函數的一個推廣，把貝塔函數中的定積分 用不定積分 來代替，就像不完全伽瑪函數 是伽瑪函數的推廣一樣。
不完全貝塔函數定義為：
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}
當x = 1，上式即化為貝塔函數。
正則不完全貝塔函數 （或簡稱正則貝塔函數 ）由貝塔函數和不完全貝塔函數來定義：
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}
當a 和b 是整數時，計算以上的積分（可以用分部積分法 ），可得：
I
x
(
a
,
b
)
=
∑
j
=
a
a
+
b
−
1
(
a
+
b
−
1
)
!
j
!
(
a
+
b
−
1
−
j
)
!
x
j
(
1
−
x
)
a
+
b
−
1
−
j
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
正則不完全貝塔函數是Β分佈 的累積分佈函數 ，可由二項式分佈 描述一個實隨機變量 X的概率分佈：
F
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
k
,
k
+
1
)
=
1
−
I
p
(
k
+
1
,
n
−
k
)
{\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k)}
其中p為試驗成功 概率，n為樣本數。
性質
I
0
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}
I
1
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}
參見
參考文獻
M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.（See §6.2, 6.6, and 26.5） （頁面存檔備份 ，存於互聯網檔案館 ）
W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C(See section 6.4)
用拉普拉斯变换来计算贝塔函数 . PlanetMath . 外部連結
