Β函數,又稱為貝塔函數第一類歐拉積分,是一個特殊函數,由下式定義:

一種B函數圖像

其中

性質

Β函數具有以下對稱性質:

 

當x,y是正整數的時候,我們可以從伽馬函數定義得到如下式子:

 

它有許多其它的形式,包括:

 
 
 
 
 
 
 

其中 伽瑪函數

就像伽瑪函數描述了階乘一樣,我們也可以用貝塔函數來定義二項式係數

 

伽瑪函數與貝塔函數之間的關係

為了推出兩種函數之間的關係,我們把兩個階乘的乘積寫為:

 

現在,設 ,  ,因此:

 

利用變量代換  ,可得:

 

因此,有:

 

導數

貝塔函數的導數是:

 

其中 雙伽瑪函數

估計

斯特靈公式給出了一個用來近似計算貝塔函數的公式:

 

不完全貝塔函數

不完全貝塔函數是貝塔函數的一個推廣,把貝塔函數中的定積分不定積分來代替,就像不完全伽瑪函數是伽瑪函數的推廣一樣。

不完全貝塔函數定義為:

 

x = 1,上式即化為貝塔函數。

正則不完全貝塔函數(或簡稱正則貝塔函數)由貝塔函數和不完全貝塔函數來定義:

 

ab是整數時,計算以上的積分(可以用分部積分法),可得:

 

正則不完全貝塔函數是Β分布累積分布函數,可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布:

 

其中p為試驗成功機率,n為樣本數。

性質

 
 
 

參見

參考文獻

外部連結