退化双线性形式

对于一个在体 F ,向量空间 V 中,V × V → F 的双线性形式B，如果V中存在一些非零的向量 $\,x$ 使得对于任意 $\,y\in V$ 有

B(x,y)=0\,

则称B是一个退化双线性形式。

非退化双线性形式

如果B是一个双线性形式，但不是退化双线性形式，则B是一个非退化双线性形式。这意味着如果对于任意 $y\in V$ 有

B(x,y)=0

则 $x=0$ 。

非退化双线性形式常见的例子是内积和辛形式。对称的非退化双线性形式是内积的推广，它只要求映射 $V\to V^{*}$ 是同构的，而不要求非负。例如，在其切空间上具有内积结构的流形是一个黎曼流形，而将条件放宽到对称的非退化双线性形式时，则只是一个伪黎曼流形。

如果V是有限维的，而B是一个双线性形式，则考虑V 的一组基底 $\{e_{1},\cdots \cdots ,e_{n}\}$ ，定义矩阵A为

$A_{i,j}=B(e_{i},e_{j})$

则B是退化双线性形式当且仅当矩阵A的行列式为零 – 也就是A是不可逆矩阵。