退化雙線性形式

對於一個在體 F ,向量空間 V 中,V × V → F 的雙線性形式B，如果V中存在一些非零的向量 $\,x$ 使得對於任意 $\,y\in V$ 有

B(x,y)=0\,

則稱B是一個退化雙線性形式。

非退化雙線性形式

如果B是一個雙線性形式，但不是退化雙線性形式，則B是一個非退化雙線性形式。這意味著如果對於任意 $y\in V$ 有

B(x,y)=0

則 $x=0$ 。

非退化雙線性形式常見的例子是內積和辛形式。對稱的非退化雙線性形式是內積的推廣，它只要求映射 $V\to V^{*}$ 是同構的，而不要求非負。例如，在其切空間上具有內積結構的流形是一個黎曼流形，而將條件放寬到對稱的非退化雙線性形式時，則只是一個偽黎曼流形。

如果V是有限維的，而B是一個雙線性形式，則考慮V 的一組基底 $\{e_{1},\cdots \cdots ,e_{n}\}$ ，定義矩陣A為

$A_{i,j}=B(e_{i},e_{j})$

則B是退化雙線性形式若且唯若矩陣A的行列式為零 – 也就是A是不可逆矩陣。