退化双线性形式

对于一个在 F ,向量空间 V 中,V × VF双线性形式B,如果V中存在一些非零的向量使得对于任意

则称B是一个退化双线性形式。

非退化双线性形式

如果B是一个双线性形式,但不是退化双线性形式,则B是一个非退化双线性形式。这意味着如果对于任意 

 

 

非退化双线性形式常见的例子是内积辛形式对称的非退化双线性形式是内积的推广,它只要求映射 同构的,而不要求非负。例如,在其切空间上具有内积结构的流形是一个黎曼流形,而将条件放宽到对称的非退化双线性形式时,则只是一个伪黎曼流形

行列式

如果V是有限维的,而B是一个双线性形式,则考虑V 的一组基底 ,定义矩阵A为

 

则B是退化双线性形式当且仅当矩阵A的行列式为零 – 也就是A是不可逆矩阵。

参见

参考资料