退化雙線性形式

對於一個在 F ,向量空間 V 中,V × VF雙線性形式B,如果V中存在一些非零的向量使得對於任意

則稱B是一個退化雙線性形式。

非退化雙線性形式

如果B是一個雙線性形式,但不是退化雙線性形式,則B是一個非退化雙線性形式。這意味着如果對於任意 

 

 

非退化雙線性形式常見的例子是內積辛形式對稱的非退化雙線性形式是內積的推廣,它只要求映射 同構的,而不要求非負。例如,在其切空間上具有內積結構的流形是一個黎曼流形,而將條件放寬到對稱的非退化雙線性形式時,則只是一個偽黎曼流形

行列式

如果V是有限維的,而B是一個雙線性形式,則考慮V 的一組基底 ,定義矩陣A為

 

則B是退化雙線性形式若且唯若矩陣A的行列式為零 – 也就是A是不可逆矩陣。

參見

參考資料