设 E 是光滑流形 M 上纤维维数为 k 的一个向量丛 。E 的一个局部标架 是 E 的局部截面 的一个有序基 。
令 e =(e α )α=1,2,...,k 是 E 上一个局部标架。这个标架可用来表示 E 的任何局部截面。假设 ξ 是一个局部截面，定义在 e 的同一个开子集上，则
ξ
=
∑
α
=
1
k
e
α
ξ
α
(
e
)
{\displaystyle \xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}
其中 ξα (e ) 表示 ξ 在标架 e 中的分量。写成一个矩阵方程，有
ξ
=
e
[
ξ
1
(
e
)
ξ
2
(
e
)
⋮
ξ
k
(
e
)
]
=
e
ξ
(
e
)
.
{\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} ).}
E 上一个联络 是一类特殊的微分算子
D
:
Γ
(
E
)
→
Γ
(
E
⊗
Ω
1
M
)
{\displaystyle D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)}
这里 Γ 表示一个向量丛的局部截面 层 ，Ω1 M 是 M 上微分 1-形式。特别地，如果 v 是 E 的一个局部截面，f 是一个光滑函数，则
D
(
f
v
)
=
v
⊗
(
d
f
)
+
f
D
v
{\displaystyle D(fv)=v\otimes (df)+fDv}
这里 df 是 f 的外导数 。
有时习惯于将 D 的定义延拓到任意 E -值形式E 与整个微分形式外代数 的张量积上一个微分你算子。给定一个外联络 D 满足这个相容性质，则存在 D 的惟一延拓：
D
:
Γ
(
E
⊗
Ω
∗
M
)
→
Γ
(
E
⊗
Ω
∗
M
)
{\displaystyle D:\Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)}
使得
D
(
v
∧
α
)
=
(
D
v
)
∧
α
+
(
−
1
)
deg
v
v
∧
d
α
{\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha }
这里 v 是次数为 deg v 的齐次元素。换句话说，D 是分次模 Γ(E ⊗ Ω* M ) 上的一个导子 。
联络形式 出现在将外联络应用于一个特定的标架 e 。当外联络应用于 e α ，有惟一的 M 上 1-形式 k × k 矩阵 (ωα β ) 使得
D
e
α
=
∑
β
=
1
k
e
β
⊗
ω
α
β
.
{\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.}
利用联络形式，E 任何截面的外联络现在可以表示出来，假设 ξ = Σα eα ξα ，则
D
ξ
=
∑
α
=
1
k
D
(
e
α
ξ
α
(
e
)
)
=
∑
α
=
1
k
e
α
⊗
d
ξ
α
(
e
)
+
∑
α
=
1
k
∑
β
=
1
k
e
β
⊗
ω
α
β
ξ
α
(
e
)
.
{\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}
在两边取分量，
D
ξ
(
e
)
=
d
ξ
(
e
)
+
ω
ξ
(
e
)
=
(
d
+
ω
)
ξ
(
e
)
{\displaystyle D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )}
其中 d 与 ω 分别表示外导数与一个 1-形式矩阵，作用在 ξ 的分量上。反之，一个 1-形式矩阵 ω 先天足以完全确定在 e 所定义的开子集上局部联络。
为了将 ω 延拓到一个合适的整体对象，必须检验选取 E 不同的截面时的行为。为了表明取决于 e 的选取写成 ωα β = ωα β (e )。
假设 e ′ 是另一个局部基，则有一个可逆 k × k 矩阵函数 g 使得
e
′
=
e
g
,
i.e.,
e
α
′
=
∑
β
e
β
g
α
β
.
{\displaystyle {\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}
将外联络应用到两边，给出了 ω 的变换法则：
ω
(
e
g
)
=
g
−
1
d
g
+
g
−
1
ω
(
e
)
g
.
{\displaystyle \omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g.}
特别注意 ω 不满足张量 性变换，因为从一个标架到另一个标架的法则涉及到转移矩阵 g 的导数。
如果 {U p } 是 M 的一个开覆盖，且每个 U p 携有 E 的一个平凡化 e p ，则利用在重叠区域上局部标架的黏合数据可以定义一个整体联络形式。具体地，M 上一个联络形式 是定义在每个 U p 上的 1-形式矩阵 ω(e p ) 的一个系统，满足下列相容性条件
ω
(
e
q
)
=
(
e
p
−
1
e
q
)
−
1
d
(
e
p
−
1
e
q
)
+
(
e
p
−
1
e
q
)
−
1
ω
(
e
p
)
(
e
p
−
1
e
q
)
.
{\displaystyle \omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).}
这个相同性条件特别地确保 E 的一个截面的外联络，当抽象地视为 E ⊗ Ω1 M 的一个截面时，与定义联络中基截面的选取无关。
E 上一个联络形式的曲率 2-形式 定义为
Ω
(
e
)
=
d
ω
(
e
)
+
ω
(
e
)
∧
ω
(
e
)
.
{\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).}
不像联络形式，曲率在标架的变化下表现为张量性，可以利用庞加莱引理 直接验证。特别地，如果 e → e g 是标架的一个变化，则曲率 2-形式变换为
Ω
(
e
g
)
=
g
−
1
Ω
(
e
)
g
.
{\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.}
此变换法则的一种理解如下。设 e * 是对应于 e 的对偶基 。则 2-形式
Ω
=
e
Ω
(
e
)
e
∗
{\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}}
与标架的选取无关。特别地，Ω 是 M 上一个向量值 2-形式，取值于自同态环 Hom(E ,E )。用符号表示，
Ω
∈
Γ
(
Ω
2
M
⊗
Hom
(
E
,
E
)
)
.
{\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Omega ^{2}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).}
使用外联络 D ，曲率自同态由
Ω
(
v
)
=
D
(
D
v
)
=
D
2
v
{\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,}
给出，对 v ∈ E 。从而曲率是序列
Γ
(
E
)
→
D
Γ
(
E
⊗
Ω
1
M
)
→
D
Γ
(
E
⊗
Ω
2
M
)
→
D
…
→
D
Γ
(
E
⊗
Ω
n
(
M
)
)
{\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M))}
不能成为链复形 （在德拉姆上同调 的意义下）的度量。
假设 E 的纤维维数 k 等于流形 M 的维数。在此情形，向量丛 E 有时带有出联络外的附加数据：一个焊接形式 solder form ）。一个焊接形式 是一个整体定义的向量值 1-形式 θ ∈ Γ(Ω1 (M ,E )) 使得映射
θ
x
:
T
x
M
→
E
x
{\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}}
对所有 x ∈ M 是线性同构。如果给定了一个焊接形式，则可以定义联络的挠率
Θ
=
D
θ
.
{\displaystyle \Theta =D\theta .\,}
挠率 Θ 是 M 上一个 E -值 2-形式。
一个焊接形式与相伴的挠率都可用 E 的一个局部标架 e 描述。如果 θ 是一个焊接形式，则可分解为标架分量
θ
=
∑
i
θ
i
(
e
)
e
i
.
{\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}
那么挠率的分量为
Θ
i
(
e
)
=
d
θ
i
(
e
)
+
∑
j
ω
j
i
(
e
)
∧
θ
j
(
e
)
.
{\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).}
与曲率一样，可以证明 Θ 在标架的变化与反变张量 变现类似
Θ
i
(
e
g
)
=
∑
j
g
j
i
Θ
j
(
e
)
.
{\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).}
与标架无关的挠率可由标架分量重新得到：
Θ
=
∑
i
e
i
Θ
i
(
e
)
.
{\displaystyle \Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).}
假设 M 带有一个黎曼度量 ，考虑 M 的切丛 上的列维-奇维塔联络 [ 2] e = (e i | i = 1,2,...,n=dim M ) 定义在 M 的一个开子集上，在定义域每一点上线性无关。克里斯托费尔符号定义了列维-奇维塔联络
∇
e
i
e
j
=
∑
k
=
1
n
Γ
i
j
k
(
e
)
e
k
.
{\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}
如果 θ = (θi | i=1,2,...,n)，表示余切丛 的对偶基 ，使得 θi (e j ) = δij （克罗内克δ ），则联络形式为
ω
i
j
(
e
)
=
∑
k
Γ
k
i
j
(
e
)
θ
k
.
{\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma _{ki}^{j}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.}
利用联络形式，一个向量场 v = Σi e i v i 上的外联络由
D
v
=
∑
k
e
k
⊗
(
d
v
k
)
+
∑
j
,
k
e
k
⊗
ω
j
k
(
e
)
v
j
.
{\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.}
给出。我们可以重新得到列维-奇维塔联络，在通常的意义下，将此式与 e i 缩并
∇
e
i
v
=
⟨
D
v
,
e
i
⟩
=
∑
k
e
k
(
∇
e
i
v
k
+
Σ
j
Γ
i
j
k
(
e
)
v
j
)
.
{\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\Sigma _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right).}
列维-奇维塔联络的曲率 2-形式是一个矩阵 (Ωi j )，由
Ω
i
j
(
e
)
=
d
ω
i
j
(
e
)
+
∑
k
ω
k
j
(
e
)
∧
ω
i
k
(
e
)
.
{\displaystyle \Omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}^{k}(\mathbf {e} ).}
给出。为了简单起见，假设标架 e 是完整的 ，故 dθi =0[ 3] 求和约定 ，则
Ω
i
j
=
d
(
Γ
q
i
j
θ
q
)
+
(
Γ
p
k
j
θ
p
)
∧
(
Γ
q
i
k
θ
q
)
=
θ
p
∧
θ
q
(
∂
p
Γ
q
i
j
+
Γ
p
k
j
Γ
q
i
k
)
)
=
1
2
θ
p
∧
θ
q
R
p
q
i
j
{\displaystyle {\begin{array}{ll}\Omega _{i}^{j}&=d(\Gamma _{qi}^{j}\theta ^{q})+(\Gamma _{pk}^{j}\theta ^{p})\wedge (\Gamma _{qi}^{k}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma _{qi}^{j}+\Gamma _{pk}^{j}\Gamma _{qi}^{k})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}}
其中 R 是黎曼曲率张量 。
列维-奇维塔联络是切丛上惟一挠率为零的度量联络 。为了描述挠率，注意到向量丛 E 是切丛。这带有一个典范焊接形式（有时称为典范 1-形式 ），它是对应于切丛的恒同自同态的 Hom(TM ,TM ) = T* M ⊗ TM 的截面 θ。在标架 e 中，焊接形式为 θ = Σi e i ⊗ θi ，其中 θi 是对偶基。
联络的挠率由 Θ = D θ 给出，或用焊接形式的标架分量表示为
Θ
i
(
e
)
=
d
θ
i
+
∑
j
ω
j
i
(
e
)
∧
θ
j
.
{\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.}
为简单起见再次假设 e 是完整的，此表达式简化为
Θ
i
=
Γ
k
j
i
θ
k
∧
θ
j
{\displaystyle \Theta ^{i}=\Gamma _{kj}^{i}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}}
它等于零当且仅当 Γi kj 的下指标是对称的。
当向量丛 E 携有一个结构群 时，可以构造更特别的一类联络形式。这等于是在 E 上有与李群 G 相关的一类优先的标架 e 。例如，若 E 上有一个度量 ，则考虑在每一点形成一个标准正交基 的标架。结构群则为正交群 ，因为这个群保持标架的标准正交性。其它例子包括：
一般地，设给定的向量丛 E 的一个纤维维数为 k ，而 G ⊂ GL(k ) 是一般线性群 R k 的一个给定的子群。如果 (e α ) 是 E 的一个局部标架，则一个矩阵值函数 (g i j): M → G 作用在 e α 上可产生一个标架
e
α
′
=
∑
β
e
β
g
α
β
.
{\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}
这样两个标架是 G -相关E 具有 G -丛结构G -相关的。正式地讲，E 是一个结构群为 G ，典型纤维 R k 上有G 作为 GL(k ) 子群的自然作用的纤维丛 。
一个联络与 E 上一个 G -丛结构相容要求相伴的平行移动 总将一个 G -标架映为另一个 G -标架。正式地讲，沿着一条曲线 γ，下列条件局部成立（即对足够小的 t ）：
Γ
(
γ
)
0
t
e
α
(
γ
(
0
)
)
=
∑
β
e
β
(
γ
(
t
)
)
g
α
β
(
t
)
{\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)}
对某个矩阵 g α β （可能与 t 有关）。在 t = 0 微分给出
∇
γ
˙
(
0
)
e
α
=
∑
β
e
β
ω
α
β
(
γ
˙
(
0
)
)
{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))}
这里系数 ωα β 在李群 G 的李代数 g 中。
由此观察，定义为
D
e
α
=
∑
α
e
β
⊗
ω
α
β
(
e
)
{\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\alpha }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )}
的联络形式 ωα β 与结构相容 ，如果 1-形式的矩阵 ωα β (e ) 取值于 g 。
而且相容联络的曲率形式是一个 g -值 2-形式。
考虑标架变化
e
α
′
=
∑
β
e
β
g
α
β
{\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}
这里 g 是一个定义在 M 的一个开子集上的 G -值函数，联络形式的变换法则为：
ω
α
β
(
e
⋅
g
)
=
(
g
−
1
)
γ
β
d
g
α
γ
+
(
g
−
1
)
γ
β
ω
δ
γ
(
e
)
g
α
δ
.
{\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.}
或者使用矩阵乘积：
ω
(
e
⋅
g
)
=
g
−
1
d
g
+
g
−
1
ω
g
.
{\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.}
为了理解每一项，回忆到 g : M → G 是一个 G -值（局部定义）函数。这样
ω
(
e
⋅
g
)
=
g
∗
ω
g
+
Ad
g
−
1
ω
(
e
)
{\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )}
其中 ωg G 的马尤厄-嘉当形式 ，这里沿着函数 g 拉回 到 M 上，Ad 是 G 在其李代数上的伴随表示 。
前文所介绍的联络形式，取决于选取一个特定的标架。在第一个定义中，标架只不过是截面的一个局部基。对每个标架，给出了一个联络形式，并有从一个标架到另一个标架的变换法则。在第二个定义中，标架自身带有由李群给出的附加结构，标架的变化限制取值于这个群。主丛的语言，由夏尔·埃雷斯曼 于是十九世纪40年代最先提出，提供了将这些联络形式与联系他们变化法则组织为具有一个单独变换法则的内蕴形式。这种方法的优点是形式不在是定义在流形自身上，而是在更大的主丛上。
假设 E → M 是结构群为 G 的一个向量丛。设 {U } 是 M 的一个开覆盖 ，在每个 U 上有一个 G -标架，记作 e U 。在重叠的开子集上的关系为：
e
V
=
e
U
⋅
h
U
V
{\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}}
其中 h UV 是定义在 U ∩ V 上某个 G -值函数。
设 FG E 是取遍 M 上每个点的所有 G -标架。这是 M 上一个主 G -丛。具体地说，利用 G -标架都是 G -相关的事实，FG E 可以实现为开覆盖集合间的黏合数据：
F
G
E
=
∐
U
U
×
G
/
∼
{\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim }
这里等价关系 ~ 定义为：
(
(
x
,
g
U
)
∈
U
×
G
)
∼
(
(
x
,
g
V
)
∈
V
×
G
)
⟺
e
V
=
e
U
⋅
h
U
V
and
g
U
=
h
U
V
−
1
(
x
)
g
V
.
{\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}
在 FG E 上，定义一个主 G -联络 如下，在每个积 U × G 上定义一个 g -值 1-形式，在重叠区域上服从等价关系。首先设
π
1
:
U
×
G
→
U
,
π
2
:
U
×
G
→
G
{\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G}
是投影映射。现在对一个点 (x ,g ) ∈ U × G ，置
ω
(
x
,
g
)
=
A
d
g
−
1
π
1
∗
ω
(
e
U
)
+
π
2
∗
ω
g
.
{\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.}
1-形式 ω 这样构造，在重叠集合上服从转移规律，从而下降到主丛 FG E 上一个整体定义的 1-形式。可以证明 ω 是一个主联络，即它再现了 G 在 FG E 上右作用的生成元，且等变交结 T(FG E ) 上的右作用与 G 的伴随表示。
反之，主 G -丛 P →M 上一个主 G -联络 ω 给出 M 上一族联络形式。假设 e : M → P 是 P 的一个局部截面。则 ω 沿 e 的拉回定义了 M 上一个 g -值 1-形式：
ω
(
e
)
=
e
∗
ω
.
{\displaystyle \omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .}
用一个 G -值函数 g 改变标架，使用莱布尼兹法则与伴随，可以发现 ω(e ) 按如下要求变化：
⟨
X
,
(
e
⋅
g
)
∗
ω
⟩
=
⟨
[
d
(
e
⋅
g
)
]
(
X
)
,
ω
⟩
{\displaystyle \langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle }
这里 X 是 M 上一个向量，d 表示前推 。
^ 参见 Griffiths and Harris (1978); Wells (1980); Spivak (1999), Volume II.
^ 参见 Spivak (1999), II.7，从这个观点完整地来考虑列维-奇维塔联络。
^ 在非完整标架中，曲率的表达式更加复杂，因为导数 dθi 必须考虑进来。
^ Wells (1973).
^ 可参见 Kobayashi and Nomizu, Volume II.
^ Wells, ibid .
^ 参见 Chern and Moser.
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,\omega \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202d3833f86f924435e77f63528e57b4f9de4c33)