立方體

由6個正方形面組成的三維幾何體

幾何學中,立方體,是由6個正方形組成的正多面體,故又稱正六面體正方體正立方體。它有12條稜(邊)和8個頂點,是五個柏拉圖立體之一。

正六面體
立方體
(按這裏觀看旋轉模型)
類別柏拉圖立體
正多面體
對偶多面體正八面體在維基數據編輯
識別
名稱正六面體
參考索引U06, C18, W3
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
cube在維基數據編輯
數學表示法
施萊夫利符號{4,3}在維基數據編輯
威佐夫符號
英語Wythoff symbol
3 | 2 4
康威表示法C在維基數據編輯
性質
6
12
頂點8
歐拉特徵數F=6, E=12, V=8 (χ=2)
二面角90°
組成與佈局
面的種類正方形
面的佈局
英語Face configuration
6個{4}
頂點圖4.4.4
對稱性
對稱群Oh
特性
環帶多面體
圖像

4.4.4
頂點圖

展開圖

立方體是一種特殊的正四稜柱長方體三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體,就如同正方形是特殊的矩形菱形平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性英語Octahedral symmetry,即考克斯特BC3對稱性,施萊夫利符號{4,3},考克斯特-迪肯符號英語Coxeter-Dynkin digramnode_1 4 node 3 node ,其對偶多面體正八面體

性質

面的組成:正方形
面的數目:6
邊的數目:12
頂點數目:8
表面積: 
體積: 
二面角角度: 
外接球半徑:  
內接球半徑: 
對偶多面體:正八面體

在所有表面積一定的長方體中,立方體的體積最大,同樣,在所有線性大小(長寬高之和)一定的長方體中,立方體的體積也是最大的。反過來,體積相等的長方體中,立方體擁有最小表面積和線性大小。

頂點坐標及表面方程

在三維直角坐標系中,對於以原點為中心的、各棱平行於坐標軸的、棱長為2的立方體,其頂點坐標為 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有滿足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的點(x,y,z)。

在R3中,以點(x0,y0,z0)為中心的立方體表面是點(x,y,z)的運動軌跡,其中x,y,z滿足:

 

幾何性質

立方體有11種不同的展開圖,即是說,我們可以有11種不同的方法切開空心立方體的7條棱而將其展平為平面圖形,見右圖。

 
立方體的11種不同展開圖

如果我們要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色,則我們至少需要3種顏色(類似於四色問題)。

立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間柏拉圖正多面體,因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌(三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體)。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的,因此,它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體(它所有相對的面關於立方體中心中心對稱)。

將立方體沿對角線切開,能得到6個全等的正4稜柱(但它不是半正的,底面棱長與側棱長之比為2:√3)將其正方形面貼到原來的立方體上,能得到菱形十二面體(兩兩共面三角形合成一個菱形)。

正交投影

我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上,這些投影都各自攜帶有立方體原本BC3對稱性的一部分。

正交投影
正對於 正方形面 頂點
考克斯特群 B2
 
A2
 
投影
對稱性
[4] [6]
傾斜視角    

半正對稱性與表面塗色

作為正多面體之一,立方體擁有較高的對稱性,它的所有面在幾何上都是相同的,不可區分的。可是我們也可以想像將立方體的面「塗上」不同的「顏色」,使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」,使立方體擁有不同的對稱性。在立方體完全的對稱性,即正八面體對稱性Oh中,立方體的所有面都是相同的。二面體對稱性D4h則將立方體描述得像一個正四稜柱,有兩個顏色相同的上下底面,其餘4個側面顏色相同。立方體最低的對稱性D2h也將立方體描述的像一個稜柱,不過是長方形稜柱,即一個長方體,它的相對的面顏色相同,而相鄰的面是不同的。每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號考克斯特-迪肯符號英語Coxeter-Dynkin digramWythoff符號英語Wythoff symbol。此外,由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱,立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶,即正三偏方面體

名稱 正六面體 正四稜柱 長方體 正三偏方面體
考克斯特符號英語Coxeter-Dynkin diagram                        
施萊夫利符號 {4,3} {4}×{} {}×{}×{}
Wythoff符號英語Wythoff symbol 3 | 4 2 4 2 | 2 2 2 2 |
對稱性英語List of spherical symmetry groups Oh
(*432)
D4h
(*422)
D2h
(*222)
D3d
(2*3)
對稱群階 24 16 8 12
圖像
(半正表面塗色)
 
(111)
 
(112)
 
(123)
 
(111), (112), (122), 及(222)

相關多面體及鑲嵌

 
  • 將立方體的其中四個頂點相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長的 ,其體積為立方體體積的 
 
正四面體外接正六面體
 
 

當正八面體在立方體之內:
正八面體體積 : 立方體體積
=[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊3
=(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3
=1 : 6

  • 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
  • 截半立方體:從一條棱斬去另一條棱的中點得出
  • 截角立方體
  • 超正方體:立方體在高維度的推廣。更加一般的,立方體是一個大家族,即立方形家族(又稱超方形、正測形)的3維成員,它們都具有相似的性質(如二面角都是90°、有類似的超體積公式,即Vn-cube=an等)。
  • 長方體偏方面體的特例。

將立方體對映映射英語Antipodal point後的到的商形成的一個實射影多面體,即立方體半形(hemicube)(不應叫其「半立方體」,因為其易與『demicube’混淆)。

 
Hemi-立方體是立方體2到1的商

正方體的對偶多面體正八面體,如果原正方體棱長為1,則對偶正八面體棱長為√2。

正方體是一種最特殊的四邊形正六面體:

名稱 棱長相等? 對角相等? 各角為直角?
立方體
菱面體
長方體
平行六面體
四邊形正六面體

立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組,每一組都構成一個完整的正四面體,更嚴格地說,這是作為半(Demi-)立方體的正四面體。這兩個正四面體組合到一起,就構成了一個正的複合多面體——星形正八面體(Stella Octagula)。兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。這意味着,正四面體的對稱群A3是正方體對稱群的子群,對應着能將半立方體轉換到自身的對稱轉換,立方體其餘的對稱轉換能將兩個半立方體轉換到對方。一個這樣的正四面體佔據了立方體體積的1/3,立方體剩餘的部分是4個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐,各占立方體體積的1/6

從立方體各棱中點處切掉立方體的角,我們會發現原先立方體的正方形面變成了其對偶的正方形面,而切掉的頂點處出現了新的正三角形面,這樣的操作叫「截半」(rectification),得到的半正多面體截半立方體(rectified cube),又叫立方八面體(cuboctahedron)。如果我們不在棱中點處截它,則這種操作叫「截角」(truncation),正方形面變成了八邊形。如果截的合適,則我們可將正方形截成正八邊形,得到的半正多面體叫截頂立方體(truncated cube)。如果我們同時截掉立方體的棱和頂,則這種操作叫「截棱」(centellation),如果截的恰當,得到的半正多面體是小斜方截半立方體(rhombicuboctahedron)。

正十二面體有20個頂點,它們可以以不同組合分成由8個頂點組成的5組,這8個頂點兩兩相連,構成內接在正十二面體內部的立方體,它的棱都是正十二面體的各面的對角線。這五個立方體組合在一起,構成複合多面體——五複合立方體

 
正十二面體內部的五複合立方體

如果我們完全切掉立方體相對的兩個頂點,我們會得到一個非正的八面體,將8個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上,則我們得到截半立方體。
立方體與所有其它擁有BC3對稱性的多面體(如正八面體和立方八面體)構成正八面體家族:

半正正八面體家族多面體
對稱性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面體的對偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

此外,立方體在拓撲上與其它3階正鑲嵌{n,3}相關:

多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌
 
{2,3}
     
 
{3,3}
     
 
{4,3}
     
 
{5,3}
     
 
{6,3}
     
 
{7,3}
     
 
{8,3}
     
...  
{∞,3}
     

立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌{4,n}(n≥3)有關:

多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌
 
{4,2}
     
 
{4,3}
     
 
{4,4}
     
 
{4,5}
     
 
{4,6}
     
 
{4,7}
     
 
{4,8}
     
...  
{4,∞}
     

立方體是正四稜柱:

正多邊形柱體系列
對稱群英語List of spherical symmetry groups 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[2n,2]
[n,2]
[2n,2+]
           
     
     
           
     
     
           
     
     
           
     
     
           
     
     
圖像    
 
 
   
 
 
   
 
 
       
球面多面體
圖像    
 
   
 
   
 
 
 
類別 柏拉圖立體 卡塔蘭立體
種子  
{3,3}
 
{4,3}
 
{3,4}
 
{5,3}
 
{3,5}
 
aC
 
aD
倒角  
cT
 
cC
 
cO英語Chamfered octahedron
 
cD
 
cI
 
caC
 
caD

應用

 

數學問題

 
由正方體展開圖可得知正方體表面積算法
 
正六邊形的切法:沿上底兩條鄰邊的中點,切至下底兩條鄰邊的中點

倍立方體問題

參見尺規作圖,已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出 的位置

最大的橫切面

立方體的橫切面只有四種:

其中以正六邊形的面積最大,若立方體的棱長為a,則正六邊形的面積為 

參見

外部連結