香港高级程度会考纯粹数学科

香港高级程度会考纯粹数学科(英语：HKALE Pure Mathematics)是昔日一个在香港教育制度内的大学预科高等数学课程，公开考试在1980年至2013年间由香港考试及评核局(HKEAA)举办。

历史及概述

课程前身为香港大学入学资格考试纯粹数学(University of Hong Kong Matriculation Examination Pure Mathematics)课程。

1980年，第一届由香港考试局（今香港考试及评核局）举办的香港高级程度会考纯粹数学科考试举行。

1992年本科首次有教学用的课程纲要，香港课程发展议会编制及发布纯粹数学科学习领域指引《中学课程纲要－纯粹数学科 (高级程度) (1992)》（页面存档备份，存于互联网档案馆），此前只有考试纲要。

2001年4月，发生试题印错事件，卷二第8题所提供的函数，把“ $6-x$ ”误印成“ $x-6$ ”，令题目无法算出^[1]。考试局在同月27日检讨补救方法后^[2]，决定以不重考但调整考生分数的方式处理^[3]^[a]^[4]^[5]。

2004年，香港课程发展议会编制及发布《数学教育学习领域－纯粹数学科课程及评估指引 (高级程度) (2004)》（页面存档备份，存于互联网档案馆）。

2009年9月，香港教育界实施三三四高中教育改革新学制课程^[6]，当中并没有纯粹数学科^[7]，不过教育局总课程发展主任李柏良在新闻报导上指出，纯粹数学科及香港高级补充程度会考数学与统计学的内容跟新学制的香港中学文凭考试数学科延伸部分接近^[8]。

2012年，最后一届开放予应届学校考生参加。

2013年，为自修生举行的最后一届香港高级程度会考举行^[9] 。

课程设计及内容

1992年前

考试纲要

根据香港数学教育学会(Hong Kong Association for Mathematics Education)的网志，由于不成文规定，香港大学入学资格考试的纯粹数学科预科课程归香港大学管理，只有考试纲要并未有教学课程及评估指引纲要发布^[10]，任教老师只能参考历届试题来自制教材，部分学校出现教学课程内容过多过深的“超教（英语：Overlearning）”情况^[11]。

考试纲要/数学领域	早期纯粹数学科试题内容
数理逻辑	命题、逆命题及逆否命题、充分必要条件或（ $\lor$ ）、非（ $\neg$ ）、与（ $\land$ ）、真值表蕴涵（ $\rightarrow$ ）、反蕴涵（ $\leftarrow$ ）、当且仅当(⇔)、逻辑等价量化、全称量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!) 等价关系（ $\sim$ ）
数学证明	直接证明（粤语：直接證明）、反证法——无理数的证明对称关系命题、不失一般性(w.l.o.g.) 数学叙述
初等集合论	元素、属于关系 (∈) 集合及集合代数——并集、交集、补集、差集、笛卡儿积、德摩根定律、对称差、幂集、空集数系——自然数集( $\mathbb {N}$ )、整数集( $\mathbb {Z}$ )、有理数集( $\mathbb {Q}$ )、实数集(ℝ)和复数集(ℂ)之间的子集关系( $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$ )
级数及序列	等差数列及等比数列求和符号(Σ) 及求积符号 (Π) 通项公式、裂项和及裂项积递回关系式
数学归纳法	第一数学归纳法、第二数学归纳法强数学归纳法逆向归纳法——算术-几何平均值不等式的证明
二项式定理	阶乘 (n!) 二项式系数及帕斯卡三角形
函数及映射	定义域及值域、陪域、区间单射、双射与满射奇函数与偶函数、周期函数复合函数、反函数分段函数、对称函数取整函数、符号函数
不等式	绝对值、绝对值不等式三角不等式分式不等式对称多项式不等式代数不等式——算术-几何平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式
线性代数	线性方程组、行向量与列向量、初等变换、阶梯形矩阵、高斯消去法、克莱姆法则矩阵代数运算(矩阵加法、矩阵乘法及其不可交换性、n次幂)及其代数性质、零矩阵、转置矩阵方阵及行列式、萨吕法则、奇异方阵及非奇异方阵、逆矩阵、单位矩阵线性映射及 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的仿射变换及其变换矩阵——平移、旋转(旋转矩阵)、反射、缩放、错切
方程理论	多项式、多项式次数（粤语：多項式次數）、因式分解、因式定理、余式定理多项式除法、综合除法、多项式辗转相除法及最大公因数、不可约多项式、艾森斯坦判别法代数方程、代数基本定理、共轭复根、有理数根定理、解析解、根、重根、根与系数、判别式多项式变换、配方法方程求解——二次方程、三次方程、四次方程笛卡儿符号法则介值定理、费马引理有理函数及垂直渐近线、部分分式分解
复数代数	复数四则运算及其代数性质(封闭性、结合性、交换性、存在单位元、存在逆元和分配性)、虚数单位、实部、虚部、共轭复数、辐角、复数模数复数平面上的几何表达及移动点的轨迹集合复数模数不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式棣莫弗公式及其应用——解一元n次方程、n次单位根、三角恒等式
微积分学	极限的直观概念（不包括极限严谨定义ε-δ语言^[12]）、数学常数 $e$ 数列极限、无穷级数、无穷序列、单调递增、单调递减、单调收敛定理、敛散性(收敛、发散，不包括审敛法）夹挤定理、不定式及洛必达法则初等函数——代数函数、幂函数、有理函数、三角函数及反三角函数(三角恒等式)、指数函数及自然对数( $ln$ ) 函数极限、连续函数、左导数、右导数及可微函数求导法则——导数列表、四则运算(微分的线性、乘积法则、除法定则、倒数定则)、反函数的微分、复合函数的微分(链式法则)、隐函数的微分、参数方程和极坐标系方程的微分、对数微分、高阶导数(莱布尼茨法则（英语：General Leibniz rule）) 罗尔定理、拉格朗日中值定理微分应用——函数图形描绘(截距、渐近线、拐点、驻点、极值)、曲线上某点的切线斜率及法线微积分基本定理、黎曼积分及可积函数、不定积分（原函数）及积分常数、反常积分、积分第一中值定理积分表、三角函数积分表、三角换元法、降次积分法、换元积分法、分部积分法、部分分式积分法定积分应用——曲线弧长、平面面积、旋转体的体积(圆盘法和外壳法)及旋转曲面面积
平面解析几何	笛卡尔坐标系、极坐标系弦、切线及法线圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线、退化圆锥曲线及各参数方程，几何特征——离心率、焦点、准线、对称轴圆锥曲线在齐次坐标的矩阵表示及其行列式的判别式
向量代数及立体解析几何	欧几里得空间的向量运算(向量加法定律——三角形定律、平行四边形定律及多边形定律、标量乘法)及其代数性质(结合性、存在单位元、存在逆元)、单位向量、零向量、范数、方向余弦、向量截点公式（英语：Section formula）点积(标量投影)、叉积及其反交换律(其范数为平行四边形的面积)、标量三重积 $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$ (平行六面体的体积)、向量三重积 $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$ 、向量恒等式向量不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式线性组合、线性相关性欧几里得空间的直线方程表示——一般式、斜截式、二点式(行列式)、参数式、向量式，一点与直线的距离，两条相交直线的相交点、两条相交直线的夹角、两条直线的距离欧几里得空间的平面方程表示——一般式、点坐标及法向量、行列式，一点与平面的距离、两个平面的夹角向量空间及其代数性质、维度、零空间
抽象代数	群(群论)、环(环论)、域(域论)
组合数学	排列与组合的概率问题

1992年后

1992年，纯粹数学科公开考试教学课程纲要《中学课程纲要–纯粹数学科(高级程度)1992》发布^[13]。

《中学课程纲要–纯粹数学科(高级程度)1992》
范畴A : 代数	单元A1 数学语言单元A2 函数单元A3 数学归纳法单元A4 不等式单元A5 正整指数的二项式定理单元A6 多项式及方程单元A7 $\mathbb {R} ^{2}$ 及 $\mathbb {R} ^{3}$ 的向量单元A8 矩阵单元A9 二元及三元线性方程组单元A10 复数
范畴B : 微积分与解析几何	单元B1 序列、级数及其极限单元B2 极限、连续性及可微性单元B3 微分法单元B4 微分法的应用单元B5 积分法单元B6 积分法的应用单元B7 解析几何

拟题方式

根据香港数学教育学会(Hong Kong Association for Mathematics Education)的期刊《数学教育》(EduMath)，1970年代开始，纯粹数学科公开考试以结构式问题(Structured Question)形式^[14]考核考生对数学基础的理解、应用及解难能力^[15]，题目取材自一些未有注明内自本科课程网要出处的数学概念或公式，要求考生证明该数学命题、定理或引理等，^[16]^[17]并着重融会各数学领域之间的关连和数学之美。

早年只有英文版本试题，以下列表以英文为主:

数学领域	拟题的数学概念或公式	试题题号	备注
正交多项式	埃尔米特多项式勒让德多项式切比雪夫多项式
多项式序列	Fibonacci polynomials（英语：Fibonacci polynomials）
Sequences and series（英语：Series (mathematics)）	斐波那契数列 Harmonic series（英语：Harmonic series (mathematics)） Euler–Mascheroni constant（英语：Euler–Mascheroni constant） P-series（英语：Harmonic series (mathematics)#P-series）
数学分析	证明π是无理数 Proof that e is irrational（英语：Proof that e is irrational）巴塞尔问题 Π的莱布尼茨公式沃利斯乘积 Viète's formula（英语：Viète's formula）梅钦类公式史特灵公式 Frullani integral（英语：Frullani integral）利普希茨连续 Integral of inverse functions（英语：Integral of inverse functions）积分判别法 Cauchy's Mean Value Theorem（英语：Cauchy's Mean Value Theorem）富比尼定理
特殊函数	高斯积分 Β函数符号函数
Inequality（英语：Inequality (mathematics)）	赫尔德不等式杨氏不等式简森不等式伯努利不等式切比雪夫总和不等式 Weierstrass product inequality（英语：Weierstrass product inequality）
李代数	李群
算术	Nearest integer function（英语：Nearest integer function）
Functional Equation（英语：Functional Equation）	柯西函数方程
傅里叶分析	帕塞瓦尔恒等式
复分析	Linear fractional transformation（英语：Linear fractional transformation）
超越数论	E的π次方
组合数学	母函数朱世杰恒等式范德蒙恒等式多项式定理
分数微积分	Cauchy formula for repeated integration（英语：Cauchy formula for repeated integration）
Calculus	泰勒公式 Steiner's calculus problem（英语：Steiner's calculus problem） Mean value theorems for definite integrals（英语：Mean value theorems for definite integrals）
泛函分析	p-Norm（英语：Norm (mathematics)#p-norm）
Operational calculus（英语：Operational calculus）	单位阶跃函数
线性代数	Vector projection（英语：Vector projection）格拉姆-施密特正交化
Matrix Algebra（英语：Matrix (mathematics)）	Commuting matrices（英语：Commuting matrices）凯莱–哈密顿定理 Trace（英语：Trace (linear_algebra)）克罗内克积可对角化矩阵特征分解特征值和特征向量特征多项式矩阵多项式幂零矩阵反对称矩阵
方程理论	Cubic equation#Cardano's formula（英语：Cubic equation#Cardano's formula）四次方程牛顿恒等式 Eisenstein's_criterion（英语：Eisenstein's_criterion）
Analytic Geometry（英语：Analytic Geometry）	心脏线帕斯卡蜗线星形线三尖瓣线
统计学	nth moment of f(x)（英语：Moment (mathematics)）

另见

注释

^ 该题为试卷二乙部第8题，是一条长题目，要求用微积分描绘一个给定函数的图像。考生须在乙部6题中选答4题，由于描绘曲线题目的解答方式较机械化，选答该题的考生比例达到98%。题目的(a)(iii)部分，要求考生证明该函数的二阶导数等于题目印出的数式，然而所印数式中“ $6-x$ ”误印成“ $x-6$ ”，以致考生误以为自己计算错误，令不少考生浪费时间检查。

参考资料

^ 高考純數題出錯考試局道歉. 东方日报. 2001-04-02: A16.
^ 高考純數影響大學聯招　「補鑊」方案有三試局今公布. 太阳报. 2001-04-27: A10.
^ 高考純數不重考調分處理考試局免再出錯會考試題再校對. 香港经济日报. 2001-04-28: A22.
^ 高級程度會考出錯題目. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 高級程度會考試題涉抄襲. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 數ㆍ說回歸廿五年丨推三三四學制增加生涯規劃　學界指成果漸現. 商业电台. 2022-07-06 [2022-10-20]. （原始内容存档于2022-10-20）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 新制選科Q&A. 星岛日报. 2007-12-13: F03.
^ 新高中數學課程—學甚麼？怎樣選？. 文汇报. 2008-10-27: A18.
^ 高考告終 72人達大學門檻. 明报加东版(多伦多). 2013-07-20.
^ 數教漫話：如是我睹、我聞、我思梁鑑添 (PDF).
^ 《那些年，你所不知道的課改二》.
^ 從「微積分簡介」看數學觀與數學教學觀張家麟香港教育學院數學與資訊科技學系黃毅英香港中文大學課程與教學學系 (PDF). [2023-06-27]. （原始内容存档 (PDF)于2023-06-27）. 早在1990年代，纵使当年高深如高级程度纯粹数学科，亦已用“极限的直观意念”取代“ε−δ定义” （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 純粹數學科課程及評估指引（高級程度）.
^ 評核、擬題與數學教育黃毅英 (PDF). [2023-06-06]. （原始内容存档 (PDF)于2022-06-26）. 以前数学命题比较简单,且看一九六一年香港高级程度考试纯粹数学卷一第三题 ... 这类题目不只能考验运用某类技巧的能力,且要求考生从纭纭工具中选出适用的来。然其缺点是,当考生临场未能找出适当之工具时,他就百筹莫展,一句也写不出来。而此题的不能得分就不能反映他的实力。所以,自七十年代开始,香港公开考试题目便渐渐流行具结构性的题目。（页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 香港中學數學課程發展 —— 個人經歷與反思數學教育第二十一期 (12/2005) 黃毅英. 香港中文大學課程與教學學系 (PDF). [2023-05-27]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-18）. 当时纯数科的试题百花齐放，变化多端。甚至不少题目是现场定义一些概念，要求学生求证一些性质，最常见的是chebycheff多项式等(黄毅英、1996)。原意是学生不须先学会这些概念才进试场。渐渐地教师要力保不失，都把这些课题塞进教学形成“超教”(over-teach)的问题。当时笔者等便批评这是由于大部分拟题者乃为大学讲师或助教(因为找没有教高考班的前线老师来拟题亦不容易)所致。他们往往将大学或更高程度的内容改头换面变成高考题，倾向于拟出一道优美的数学题多于根据课程目的和教学去探讨学生是否掌握相关的内容。在一个场合中(香港大学硕士班研讨)，当年在高考有不少参与的曾钰成先生持不同意见。他指出纯数学的一个重要课程目的是问题解决，故此考题不一定要针对特定的数学概念和技巧，而正正是要考验考生能否融合不同的概念和技巧解决新的问题。这个观点不无道理。在今天提出开放题与非常规题，如何测?如何避免非常规题常规化而变成另一种背诵的题型?这些也许值得我们再拿出来反思。（页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ AL Pure maths notes: Legendre Polynomials (PDF). （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 那些DSE同學所不知道的事－－那些年的A-level數學. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 兩個高考──英中路寬中中吃虧. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

[4] 该题为试卷二乙部第8题，是一条长题目，要求用微积分描绘一个给定函数的图像。考生须在乙部6题中选答4题，由于描绘曲线题目的解答方式较机械化，选答该题的考生比例达到98%。题目的(a)(iii)部分，要求考生证明该函数的二阶导数等于题目印出的数式，然而所印数式中“ $6-x$ ”误印成“ $x-6$ ”，以致考生误以为自己计算错误，令不少考生浪费时间检查。

[1] 高考純數題出錯考試局道歉. 东方日报. 2001-04-02: A16.

[2] 高考純數影響大學聯招　「補鑊」方案有三試局今公布. 太阳报. 2001-04-27: A10.

[3] 高考純數不重考調分處理考試局免再出錯會考試題再校對. 香港经济日报. 2001-04-28: A22.

[5] 高級程度會考出錯題目. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[6] 高級程度會考試題涉抄襲. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[7] 數ㆍ說回歸廿五年丨推三三四學制增加生涯規劃　學界指成果漸現. 商业电台. 2022-07-06 [2022-10-20]. （原始内容存档于2022-10-20）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[8] 新制選科Q&A. 星岛日报. 2007-12-13: F03.

[9] 新高中數學課程—學甚麼？怎樣選？. 文汇报. 2008-10-27: A18.

[10] 高考告終 72人達大學門檻. 明报加东版(多伦多). 2013-07-20.

[11] 數教漫話：如是我睹、我聞、我思梁鑑添 (PDF).

[12] 《那些年，你所不知道的課改二》.

[13] 從「微積分簡介」看數學觀與數學教學觀張家麟香港教育學院數學與資訊科技學系黃毅英香港中文大學課程與教學學系 (PDF). [2023-06-27]. （原始内容存档 (PDF)于2023-06-27）. 早在1990年代，纵使当年高深如高级程度纯粹数学科，亦已用“极限的直观意念”取代“ε−δ定义” （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[14] 純粹數學科課程及評估指引（高級程度）.

[15] 評核、擬題與數學教育黃毅英 (PDF). [2023-06-06]. （原始内容存档 (PDF)于2022-06-26）. 以前数学命题比较简单,且看一九六一年香港高级程度考试纯粹数学卷一第三题 ... 这类题目不只能考验运用某类技巧的能力,且要求考生从纭纭工具中选出适用的来。然其缺点是,当考生临场未能找出适当之工具时,他就百筹莫展,一句也写不出来。而此题的不能得分就不能反映他的实力。所以,自七十年代开始,香港公开考试题目便渐渐流行具结构性的题目。（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[16] 香港中學數學課程發展 —— 個人經歷與反思數學教育第二十一期 (12/2005) 黃毅英. 香港中文大學課程與教學學系 (PDF). [2023-05-27]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-18）. 当时纯数科的试题百花齐放，变化多端。甚至不少题目是现场定义一些概念，要求学生求证一些性质，最常见的是chebycheff多项式等(黄毅英、1996)。原意是学生不须先学会这些概念才进试场。渐渐地教师要力保不失，都把这些课题塞进教学形成“超教”(over-teach)的问题。当时笔者等便批评这是由于大部分拟题者乃为大学讲师或助教(因为找没有教高考班的前线老师来拟题亦不容易)所致。他们往往将大学或更高程度的内容改头换面变成高考题，倾向于拟出一道优美的数学题多于根据课程目的和教学去探讨学生是否掌握相关的内容。在一个场合中(香港大学硕士班研讨)，当年在高考有不少参与的曾钰成先生持不同意见。他指出纯数学的一个重要课程目的是问题解决，故此考题不一定要针对特定的数学概念和技巧，而正正是要考验考生能否融合不同的概念和技巧解决新的问题。这个观点不无道理。在今天提出开放题与非常规题，如何测?如何避免非常规题常规化而变成另一种背诵的题型?这些也许值得我们再拿出来反思。（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[17] AL Pure maths notes: Legendre Polynomials (PDF). （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[18] 那些DSE同學所不知道的事－－那些年的A-level數學. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[19] 兩個高考──英中路寬中中吃虧. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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