比值審斂法

比值審斂法(Ratio test)是判別級數斂散性的一種方法,又稱為達朗貝爾判別法D'Alembert's test[1]

無窮級數
無窮級數

定理

 
比值審斂法判斷流程表

 為一級數,如果

 

  • 當ρ<1時級數絕對收斂
  • 當ρ>1時級數發散
  • 當ρ=1時級數可能收斂也可能發散。

證明

如果 ,那麼存在一個實數 以及一個正整數 ,滿足 ,使得當 時,總有 成立;因此在上述條件下,當 為正整數時有 ,於是根據無窮等比數列求和得出下式絕對收斂:

 

如果 ,那麼同樣存在一個正整數 ,使得當 時,總有 ,求和項的極限不為零,於是級數發散。

而當 時,以  為例,結果同樣為 ,但前者發散而後者收斂(後者收斂值為 ),該例子可以用比較審斂法來審斂。

例子

收斂

考慮級數

 
 

因此該級數收斂。

發散

考慮級數

 
  = 
= 
= 
= 
= 
= 

因此該級數發散。

不能確定

級數

 

發散,但

 

而級數

 

收斂,但

 

參見

參考文獻

  1. ^ 卓里奇, B.A. 数学分析 第7版. ISBN 9787040287554.